UFMG, Sem Campus, Cálculo 1, P2 - 2020.2, Questão 6
Seja um número real positivo tal que em um ponto do primeiro quadrante do plano cartesiano as curvas
e
possuem a mesma reta tangente.
O valor de é:
(A) 5
(B) 6
(C) 4
(D) 3
(E) 2
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado no deu um número real positivo, que tá no primeiro quadrante, onde as duas curvas dadas têm a mesma tangente. Isso significa que a derivada delas no ponto precisa ser igual. E ele quer saber o valor de .
Então, o que nós vamos fazer é calcular a derivada de cada função e igualar as duas pra obter o valor de .
Vamos lá!
Passo 2
Como a nossa função é de duas variáveis, nós vamos precisar calcular sua derivada implícita fazendo:
Agora vamos isolar :
Pra vamos fazer a mesma coisa, calculando sua derivada:
Isolando :
Passo 3
Agora vamos igualar as duas derivadas:
Multiplicando cruzado, temos:
Simplificando:
Como nós estamos considerando apenas o primeiro quadrante, as raízes são positivas, então temos:
Passo 4
Substituindo esse resultado na equação:
Temos:
Mas a gente quer saber o valor de , então vamos substituir os dois resultados na outra equação:
Temos:
Como é sempre positivo, isolando na equação temos:
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉