6. Seja f : R * → R a função definida por f x = x + 1 x

  1. Calcule f ' x .
  2. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto ( 1,2 ) .
  3. Mostre que nenhuma reta tangente ao gráfico de f passa pela origem.

Passo 1

  1. Oi, galerinha! Tudo bom? O problema começa nos pedindo para calcular a derivada da função
  2. f x = x + 1 x

    Repara que podemos escrever assim

    f x = x + x - 1

    Para fazer essa derivada temos que usar a regra do polinômio

    y = x n → y ' = n x n - 1

    Aplicando, temos que

    f ' x = 1 - 1 x 2

    Passo 2

  3. Agora o problema pede para acharmos a reta tangente à curva e para descobrirmos isso, temos que lembrar que a reta tangente a uma curva precisa satisfazer a seguinte equação,
  4. y - y 0 = y ' x 0 x - x 0

    Onde x 0 e y 0 são as coordenadas onde essa reta tagente passa, que no caso é ( 1,2 ) . Então fica assim,

    y - 2 = f ' 1 x - 1

    Como já sabemos quem é f ' x é só substituir e calcular

    f ' 1 = 1 - 1 1 2

    Então

    y - 2 = 1 - 1 1 2 x - 1

    y - 2 = 0 x - 1

    Logo nossa reta tangente será,

    y = 2

    Passo 3

  5. Para mostrar que nenhuma reta tangente passa pela origem, temos que lembrar a cara da equação da reta

y = a x + b

De modo que para uma reta passar pela origem, temos que obrigatoriamente b = 0 . Ou seja, o termo independete de x e y tem que ser zero.

Vamos olhar para a cara da nossa equação da reta tangente,

y - y 0 = 1 - 1 x 0 2 x - x 0

Ajeitando essa equação ficamos com,

y - y 0 = x - x 0 - x x 0 2 + 1 x 0

y - y 0 = 1 - 1 x 0 2 x + 1 - x 0 2 x 0

y = 1 - 1 x 0 2 x + 1 - x 0 2 x 0 + y 0

Note que para nossa equação da reta tangente temos

b = 1 - x 0 2 x 0 + y 0

E como já vimos, para passar na origem temos que ter b = 0

1 - x 0 2 x 0 + y 0 = 0

Com isso, para que a reta tangente passe na origem, precisamos ter a seguinte relação

y 0 = - 1 - x 0 2 x 0

y 0 = - 1 x 0 + x 0

Mas esta equação é diferente da nossa função e não tem nenhum ponto que satisfaça ambas. A gente consegue ver isso se a gente substituir essa relação que acabamos de achar na nossa função:

f x = x + 1 x

y 0 = x 0 + 1 x 0 = - 1 x 0 + x 0

E resolvendo, achamos algo impossível:

- 1 = 1

Ou seja, nunca teremos uma condição que sastifaça a condição de anulamento de b . Logo, nenhuma reta tangente ao gráfico e f passa pela origem.

Resposta

  1. f ' x = 1 - 1 x 2
  2. y = 2
  3. No texto.

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