1. Oi, galerinha! Tudo bom? O problema começa nos pedindo para calcular a derivada da função

Repara que podemos escrever assim

Para fazer essa derivada temos que usar a regra do polinômio

Aplicando, temos que

Passo 2

2. Agora o problema pede para acharmos a reta tangente à curva e para descobrirmos isso, temos que lembrar que a reta tangente a uma curva precisa satisfazer a seguinte equação,

Onde e são as coordenadas onde essa reta tagente passa, que no caso é . Então fica assim,

Como já sabemos quem é é só substituir e calcular

Então

Logo nossa reta tangente será,

Passo 3

3. Para mostrar que nenhuma reta tangente passa pela origem, temos que lembrar a cara da equação da reta

De modo que para uma reta passar pela origem, temos que obrigatoriamente . Ou seja, o termo independete de e tem que ser zero.

Vamos olhar para a cara da nossa equação da reta tangente,

Ajeitando essa equação ficamos com,

Note que para nossa equação da reta tangente temos

E como já vimos, para passar na origem temos que ter

Com isso, para que a reta tangente passe na origem, precisamos ter a seguinte relação

Mas esta equação é diferente da nossa função e não tem nenhum ponto que satisfaça ambas. A gente consegue ver isso se a gente substituir essa relação que acabamos de achar na nossa função:

E resolvendo, achamos algo impossível:

Ou seja, nunca teremos uma condição que sastifaça a condição de anulamento de . Logo, nenhuma reta tangente ao gráfico e passa pela origem.