Q03) Sejam a , b   ∈ I R . Decida se cada proposição abaixo é verdadeira ou falsa:

  1. Se y = a x + b é a equação da reta tangente ao gráfico da função f x = cot ⁡ x , então a < 0

Passo 1

Bora lá. Pra começar, como tamos falando de reta tangente, vamos lembrar do modelo da equação:

y - y 0 = m x - x 0

Onde x 0 , y 0 é o ponto de tangência e m = f ' x 0 o coeficiente angular da reta. Se a gente tentar adequar isso ao modelo do enunciado, vamos ter:

y - y 0 = m x - m x 0

y = m x + y 0 - m x 0

y = a x + b

E logo:

a = m b = y 0 - m x 0

Como o enunciado só ta se preocupando com o intervalo no qual o valor de a está definido, no final das contas, vemos que:

a = m = f ' x 0

Opa, sabemos f x ! Então basta derivarmos e substituirmos x = x 0 pra ter ainda mais informações sobre a . Partiu:

f x = cot ⁡ x

f ' x = - csc 2 ⁡ x

f ' x 0 = - csc 2 ⁡ x 0

Pronto, agora, sabendo que:

a = m = f ' x 0 = - csc 2 ⁡ x 0

Basta a gente analisar se:

- csc 2 ⁡ x 0 < 0

É verdadeiro ou falso. Oras! Qualquer número ao quadrado é positivo. Se eu multiplico por - 1 um número positivo, independente de quem seja, ele com certeza vai se tornar negativo, ou seja, menor que zero! Fechada a questão!

Resposta

Verdadeiro uma vez que a = m = f ' x 0 = - csc 2 ⁡ x 0 e que como csc 2 ⁡ x 0 > 0 sempre por causa do termo ao quadrado, então a < 0 é uma verdade.

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