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Exercícios Resolvidos de Reta tangente

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Enunciado

Considere a função

f x = tan ⁡ x 3 + x ln ⁡ ( x 2 + 1 )

  1. Calcule f ' ( x ) e f ' ( 0 )
  2. Determine a reta tangente ao gráfico de f no ponto x = 0

Passo 1

(a) Primeiro de tudo precisamos derivar a função f . Para isso, vamos usar regra da cadeira e regra do produto, veja:

f ' x = sec ² ⁡ x 3 ( x 3 ) '   +   l n x 2 +   1 + ( l n x 2 +   1 ) ' x

f ' x = sec ² ⁡ x 3 3 x ²   +   l n x 2 +   1 + 1 x 2 +   1   ( x ²   +   1 ) ' x

f ' x = 3 x ² sec ² ⁡ x 3   +   l n x 2 +   1 + 2 x ² x 2 +   1  

Passo 2

Agora para calcular f ' ( 0 ) é só substituir x por 0 na expressão de f ' ( x ) .

f ' 0 = 3 . 0 ² sec ² ⁡ 0 3   +   l n 0 2 +   1 + 2 . 0 ² 0 2 +   1  

f ' 0 = 0

Passo 3

(b) Lembrando que a reta tangente a uma função f no ponto x = 0 é dada por

y = f 0 + f ' ( 0 ) ( x - 0 )

podemos calcular a reta pedida na questão. Note que

f 0 = 0

f ' 0 = 0

Então

y = f 0 + f ' 0 x - 0 = 0 + 0 x - 0 = 0

y = 0

Resposta

y = 0

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