10 . Considere o ponto P = P ( t ) deslocando-se sobre o gráfico

y = f x = 9 x + 121 x , para x > 0 ,

Onde x e y são medidos em centímetros. Denotemos por Q = Q ( t ) o ponto dado pela interseção do eixo y com a reta tangente ao gráfico de f no ponto P = P ( t ) . Sabendo que a coordenada x do ponto P varia a uma taxa constante de - 0,3   c m / s , determine com que taxa estará variando a coordenada y do ponto Q no instante em que as coordenadas do ponto P forem 11 3 , 66 .

A : 3,3   c m / s

B : 2,7   c m / s

C : 6,6   c m / s

D :   - 2,7   c m / s

E : 5,4   c m / s

Passo 1

Vem comigo que a gente resolve essa juntos!

Temos um problema de taxas relacionadas em mãos. Temos um ponto P que se desloca no gráfico de f ( x ) e temos uma reta tangente ao gráfico dessa função que sempre vai tangenciar em P e essa reta cruza o eixo y em um ponto Q .

Então a derivada da função f fornece a inclinação dessa reta tangente em P .

Como P anda sobre o gráfico de f as suas coordenadas são obtidas a partir de f então a taxa com que a coordenada x de P varia é a mesma para o x da função f .

Um fato que vai nos ajudar aqui é saber que a tangente do ângulo formado pela reta tangente ao gráfico e uma reta horizontal que passa por P é igual a derivada de f , já que essa derivada fornece a inclinação da reta.

Só que esse ângulo começa a contar no sentido anti-horário, e esse ângulo que mencionei acima é o seguinte:

Mãos à obra então!

Passo 2

Vamos primeiro calcular a derivada de f , temos que:

f ' = 9 - 121 x 2

E isso é igual a tangente de - θ , assim:

tg ⁡ - θ = 9 - 121 x 2

Passo 3

Agora levando em conta que θ é o ângulo formado pela reta tangente e uma reta horizontal que passa por P , temos que:

tg ⁡ - θ = y x

Só que esse y é a altura em que a reta tangente encosta no eixo y , logo essa altura vai ser igual a Q menos a altura de P e x é a coordenada do ponto P , assim:

tg ⁡ - θ = - tg ⁡ θ = Q - h P x

⇒ tg ⁡ θ = - Q + h P x

Passo 4

Igualando a derivada com o termo da tangente, temos:

- Q + h P x = 9 - 121 x 2

⇒ Q = - 9 x + 121 x + h P

Mas o que queremos é a taxa temporal com que varia, então temos que derivar essa expressão em relação ao tempo, assim:

d Q d t = - 9 d x d t - 121 x 2 d x d t

O enunciado já nos deu o valor de d x / d t e queremos quando P está no ponto x = 11 / 3 , assim:

d Q d t = - 9 - 0,3 c m / s - 121 11 3 2 ( - 0,3   c m / s )

⇒ d Q d t = 2,7   c m / s + 2,7   c m / s = 5,4   c m / s

Logo a alternativa correta é a letra E .

Resposta

E : 5,4   c m / s

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