UFMG, Sem Campus, Cálculo 1, P2 - 2020.1, Questão 7
Sejam um número real e a curva determinada pela equação . O ponto está sobre a reta tangente ao gráfico da curva no ponto . O valor de é:
Escolha uma:
(A) 489
(B) 477
(C) 475
(D) 482
(E) 479
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado no deu uma curva determinada pela equação , disse que o ponto está sobre a reta tangente ao gráfico da curva no ponto , e ele quer saber qual o valor de .
Pra descobrir isso, primeiro nós vamos usar a equação da reta tangente:
Onde é o coeficiente angular da reta e também a derivada da nossa curva. Então, nós vamos derivar pra descobrir o coeficiente angular no ponto . Em seguida, a gente vai substituir na equação da reta, considerando o ponto e, assim, obter o valor de .
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar derivando em relação a :
Repare que aparece um , porque a gente tá derivando implicitamente em relação a , já que essa é uma função de duas variáveis. Isolando , temos:
Simplificando fica:
Mas o enunciado diz que a reta é tangente ao gráfico da curva no ponto . Então, vamos substituir e :
Esse é o nosso coeficiente angular da reta.
Passo 3
Substituindo tudo na equação da reta tangente, temos:
Isolando , temos a reta:
E nós sabemos que o ponto está sobre essa reta tangente. Então, substituindo e , temos:
Mas a gente não pode esquecer que o objetivo da questão é encontrar o valor de , que tá na equação . Substituindo o ponto que encontramos, temos:
E encontramos:
Logo, nossa resposta é a letra (D).
Valeu, galera! Até a próxima! 😉