Sabe-se que o ponto está sobre a curva

de tal forma que a reta tangente à curva no ponto determina junto com os eixos coordenados um triângulo de área . O valor de é

Escolha uma:

(A) 94

(B) 102

(C) 106

(D) 108

(E) 110

Para encontrarmos a reta tangente, calculamos primeiro o coeficiente angular desta reta, derivando a equação da curva em relação à variável .

Teremos:

Agora vamos isolar :

Simplificando:

Este é o coeficiente angular da nossa reta tangente.

Substituindo e na equação da reta tangente, temos:

Lembra que a gente definiu e como os pontos de interseção da reta tangente aos eixos coordenados? Vamos substituir esses pontos na nossa reta pra encontrar o valor dessas coordenadas.

Em , temos:

Vamos aplicar a propriedade distributiva, multiplicando termo a termo:

Isolando , temos:

Colocando o lado direito no mesmo denominador:

Agora vamos olhar pra nossa equação inicial:

Colocando no mesmo denominador, temos:

Agora repare que a gente pode dividir a equação toda por , e fica assim:

Olha só, o lado direito é igual ao numerador do , então a gente sabe que esse numerador vale . Substituindo lá, temos:

Simplificando:

Agora vamos repetir o processo pra . Usando a equação da reta tangente:

Colocando todo mundo no mesmo denominador:

E a gente pode substituir de novo pela igualdade :

Simplificando:

Calma que tá acabando! Lembra que o objetivo da questão é descobrir o valor de . E o enunciado nos diz que esses eixos coordenados estão em um triângulo de área . Então, temos pra área do triângulo:

E nós já sabemos que e . Então,

Fazendo a multiplicação:

Logo,

Mas , então encontramos nosso resultado:

Que é a nossa alternativa (B).

Valeu, galera! Até a próxima! 😉