Ache os pontos sobre a curva y   =   2 x 3 + 3 x 2 - 12 x + 1 para os quais a reta tangente é horizontal

Passo 1

E ai galera, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?

O problema deu a equação de uma curva

y   =   2 x 3 + 3 x 2 - 12 x + 1

E pediu para achar todos os pontos para os quais a reta tangente é horizontal

Mas calma lá! O que tem a ver a reta tangente com uma curva?

y em um determinado ponto

A equação de uma reta qualquer é

y = m x + b

Onde m é o coeficiente angular e b o linear.

E aqui que quero fazer a ligação com uma curva! Quando falamos em reta TANGENTE a uma função/curva, dizemos que essa reta toca nessa curva em um ÚNICO ponto! Como por exemplo nessa curva qualquer em azul aqui embaixo e no ponto P temos uma reta tangente em vermelho

E a inclinação da reta tangente nesse ponto é justamente a derivada da curva nesse ponto!

Sendo assim, podemos associar aquele m da reta com a derivada de y em um ponto

m = y ' ( x 0 )

Beleza?

Mas o problema nos pede os pontos em que a reta tangente é HORIZONTAL

Uma reta horizontal tem inclinação?

A resposta é não!

Quando uma reta é horizontal, dizemos que ela não tem inclinação, ela não está nem subindo, nem descendo, a inclinação é zero! Igualzinho a inclinação dessas retas do desenho ali em cima, podemos ter várias em uma curva. Sempre onde a curva/função tiver um máximo (exemplo dos pontos P e Q) ou um mínimo (ponto R) a derivada vai ser zero, ou seja, a inclinação da reta tangente é zero!

E é isso que o problema pede! Determinar os pontos da curva y ( x ) tem uma reta tangente horizontal significa descobrir onde a derivada dessa curva é zero!

Então o que precisamos fazer é derivar e igualar a zero, e assim determinar todos os pontos onde isso acontece

Passo 2

A curva dada foi

y   =   2 x 3 + 3 x 2 - 12 x + 1

Sua derivada é:

y ' = 6 x 2 + 6 x - 12

E precisamos determinar onde y ' = 0 , então

6 x 2 + 6 x - 12 = 0

Vamos dividir tudo por 6 para simplificar um pouco

x 2 + x - 2 = 0

Beleza?

Passo 3

Olha só! Encontramos uma equação de segundo grau! Os pontos onde essa equação é zero encontramos via fórmula de Bháskara!

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Aqui a = 1 , b = 1 e c = - 2 :

x = - ( 1 ) ± ( 1 ) 2 - 4 . 1 . ( - 2 ) 2 . ( 1 ) = - 1 ± 1 + 8 2 = - 1 ± 3 2

x ' = - 1 + 3 2 = 1

x ' ' = - 1 - 3 2 = - 2

Tranquilo?

Assim as coordenadas x dos pontos (são dois pontos) onde a curva dada tem uma reta tangente horizontal são x = 1 e x = - 2 .

Tranquilo?

Espero ter ajudado!

Resposta

x = 1 e x = - 2

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