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Exercícios Resolvidos de Reta tangente

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Enunciado

UFRJ – Cálculo 1 – Lista 4 – Questão 4c

Encontre a equação da reta tangente à curva y = f x no ponto x 0 , y 0 :

y = 2 x x + 1 ,     x 0 , y 0 = ( 1 , 1 )

Passo 1

E aí, galerinha! Sem mais delongas, vamos ao que interessa!! Como achar a equação da reta tangente? Bem, saber isso é saber a inclinação da reta, que é dada pela fórmula da derivada da função.

Formalmente falando, a reta tangente no ponto em que x = x 0 é dada por:

y - f x 0 = f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

Lembrando que f x 0 = y 0 , logo como já temos o par ordenado ( 1 , 1 ) , sabemos que quando x 0 = 1 ,     y 0 = 1

Daqui vemos que vamos precisar de alguns parâmetros pra encontrar nossa reta.

f x 0 = y 0 = 1

f ' x 0 → P r e c i s a m o s   e n c o n t r a r

Passo 2

Vamos agora fazer nossa derivada ali e vamos precisar a regra do quociente!!!

f g ' = f ' . g - f . g ' g 2

Vamos chamar de f = 2 x e g = x + 1

f ' = d d x 2 x = 2

g ' = d d x x + 1 = 1

Substituindo a gente vai ter o que?

f ' x = 2 x + 1 - 2 x 1 x + 1 2

Só que lembra que o enunciado já falou pra gente em qual ponto ele quer verificar a reta tangente? Ele disse que é em x = x 0 = 1 . Então vamos substituir!!!!

f ' 1 = 2 1 + 1 - 2 1 1 1 + 1 2 = 4 - 2 4 = 1 2

Passo 3

Agora vamos aplicar nossa equação da reta tangente!!!

y - f x 0 = f ' x 0 x - x 0

y - 1 = 1 2 x - 1

2 y - 2 = x - 1

y = x + 1 2

Resposta

y = x + 1 2

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