Seja f(x) = 1 / x - x^3, x > 0

  1. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f^(-1) no ponto (0, f^(-1)(0))

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem? O problema nos deu essa função aqui

f x = 1 x - x 3

E pediu para encontrarmos a equação da reta tangente ao gráfico de f - 1 (inversa de f ) no ponto onde 0 ,   f - 1 0

você se lembra como calculamos a equação de uma reta tangente?

A equação de uma reta tangente em um ponto x 0 , y 0 é dada por

y - y 0 = m ( x - x 0 )

E aqui m é o ponto chave: ele é a derivada da função aplicada no ponto ( x 0 , y 0 )

No nosso caso a função é a inversa de f , e o ponto é aquele lá que foi dado!

Mas atenção, para a derivada de uma função inversa, precisamos lembrar que

f - 1 ' = 1 f '

Então a ideia aqui é a seguinte: achar a derivada da função, e depois resgatar um resultado obtido anteriormente, o ponto! Juntar tudo e jogar na reta tangente!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Para a derivada dessa inversa, usamos:

f - 1 ' y = 1 f ' x

f - 1 ' 0 será dado pelo inverso da derivada aplicada a x = 1 :

f - 1 ' 0 = 1 f ' 1 = 1 - 1 + 3 1 4 1 2 = - 1 1 + 3

f - 1 ' 0 = - 1 4

Esse é nosso m !

Resgatando do outro item dessa lista (se você quiser procurar a resolução é só olhar a questão 1b dessa lista) temos que

f - 1 0 = 1

Ou seja, nosso ponto ( x 0 , y 0 ) é

( 0,1 )

Tranquilo?

Passo 3

Agora é só jogar na equação da reta tangente!

y - y 0 = m ( x - x 0 )

y - 0 = - 1 4 ( x - 1 )

y = - x 4 + 1 4

E é isso!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

y = - x 4 + 1 4

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