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Exercícios Resolvidos de Reta tangente

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Enunciado

UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de C1 - Profº Rubens Sucupira - Lista 3, Questão 31

Determine uma equação da reta tangente à curva

x 5   +   l n   y   +   x y 2   =   34

no ponto ( 2 ,   1 ) .

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Calc1!!! Nosso objetivo é calcular a equação da reta tangente a equação

x 5   +   l n   y   +   x y 2   =   34

no ponto ( 2 ,   1 )

Passo 2

Para encontrarmos a reta tangente, vamos começar calculando a derivada da função em função de x .

Para isso, vamos usar a derivação implícita. Temos que

d d x y ( x ) = y ' ( x )

Então, derivando dos dois lados

x 5   +   l n   y   +   x y 2   =   34

d d x x 5   +   l n   y   +   x y 2   = d d x   34

Usando a regra da cadeia

d d x x 5   +   l n   y   +   x y 2   = 0

5 x 4 + 1 y y ' + y 2 + x 2 y y ' = 0

Agora, vamos agrupar os termos.

y ' = - 5 x 4 - y 2 1 / y + 2 x y  

Agora que temos a derivada, podemos calcular o coeficiente da reta tangente em qualquer ponto

Passo 3

Vamos calcular o coeficiente angular da reta tangente ao ponto   ( 2 ,   1 ) . Então substituindo em

m = y ' = - 5 x 4 - y 2 1 / y + 2 x y

Temos

y '   =   - 81 5

Logo, a reta tangente ao ponto   ( 2 ,   1 ) é dada por

y - y 0 = m ( x - x 0 )

Então a reta é

y - 1 = y '   =   - 81 5 ( x - 2 )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

D e s e n v o l v i m e n t o   A c i m a

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