UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de C1 - Profº Rubens Sucupira - Lista 3, Questão 8
Prove que não há reta que contenha o ponto (1, 5) e seja tangente à curva
Passo 1
Eaew, belezinha?
A questão pede para a gente mostrar que nenhuma reta tangente à função 4x² passa pelo ponto (1,5). Bem, primeiro vamos lembrar o que sabemos sobre retas: elas são funções bastante simples, porque só dependem de 2 parâmetros (seu coeficiente angular e seu coeficiente linear). Uma reta que contenha o ponto (1,5) contém o seguinte vínculo entre seu coeficiente angular a e seu coeficiente linear b
Nossa demonstração se resume, então, a encontrar uma equação genérica para uma reta tangente à curva 4x² e mostrar que seus coeficientes linear e angular nunca se relacionam da forma acima. E como a gente calcula uma reta tangente à uma função? Primeiro precisamos calcular uma função que nos dê a inclinação da reta tangente em cada ponto, ou seja, a sua derivada! Então, bora lá derivar a função!
Passo 2
Como a derivada de uma função do tipo é simplesmente
E como a nossa função y(x) é da forma 4x², temos que a sua derivada é simplesmente:
Então, para um ponto sobre a curva, de coordenadas (), temos que a equação genérica de sua reta tangente é
Mas, como o ponto () está contido na reta tangente, podemos calcular o coeficiente linear, substituindo esse ponto na equação acima. Fazendo isso, obtemos:
Então, já determinamos os parâmetros de uma reta tangente genérica para um ponto qualquer. A equação da reta é dada por
Então, todas as retas tangentes à curva são dessa forma. Agora, só precisamos verificar se existe algum valor para o qual o ponto (1,5) esteja incluído nessa reta. E como a gente faz isso? Bem, lembra que verificamos que, qualquer reta que passe pelo ponto (1,5) possui um vínculo entre a e b dado por ? Então, a gente só precisa verificar se existe algum tal que a soma do coeficiente angular nesse ponto mais o coeficiente linear seja igual a 5. Então, com os valores de a e b calculados para um , podemos escrever
Então, precisamos encontrar um que seja solução da equação de segundo grau abaixo:
Resolvendo a equação acima, verificamos que e, portanto, ela não possui raízes reais. Ou seja, não existe nenhum valor de x sobre a reta real para os quais a soma do coeficiente angular e coeficiente linear da reta tangente seja igual a 5, que, como vimos era uma condição necessária e suficiente para que a reta passe pelo ponto (1,5)! Então, não existe nenhuma reta tangente à curva 4x² que passe pelo ponto (1,5).
Resposta
Demonstração ao longo da questão.