USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Polit��cnica - Lista 2 - Várias Variáveis, Limites e Continuidade, Questão 1.3a
1.3. Encontre uma parametrização para a curva de nível de nos casos:
a. ,
Determine a reta tangente às curvas acima nos pontos , e , respectivamente.
Passo 1
Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎
Nessa questão queremos duas coisas... a primeira é parametrizar a curva de nível da função em e a segunda coisa é obter a reta tangente no ponto .
E aí, como podemos fazer isso? 👀
Para determinar a curva paramétrica de em , temos que fazer e substituir por , assim, isolando uma das variáveis ou encontrando alguma característica da equação podemos fazer uma mudança de variáveis para reescrever a curva como uma única variável.
Já para obter a reta tangente a no ponto dado, temos que obter a variável do vetor paramétrico e fazer
Sacou? Bora começar! 😁
Passo 2
Primeiro vamos fazer
Isolando , temos
Assim, com
Para parametrizar essa reta, podemos fazer e, portanto, o vetor paramétrico dessa curva é dado por
Tranquilo até aqui? 😉
Passo 3
Agora para obter a reta tangente a no ponto
Temos que aplicar a equação
Onde é o ponto onde .
Obtendo , temos
Ou seja, .
Agora vamos obter
Substituindo na equação da reta tangente...
Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁
