Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f dada passando pelo ponto (a, f(a)) , caso elas existam.

(d) f(x) = raiz(x, 3) e a = 2

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a equação da reta tangente ao gráfico de f x = x 3 que passa pelo ponto de coordenada x = 2 . Pra descobrir a coordenada y do ponto, basta substituir o valor de x na função:

y = f 2 = 2 3

Então, queremos encontrar a reta tangente que passa pelo ponto 2 ,   2 3 . Lembra dela? A equação da reta tem a forma:

y - y 0 = m ( x - x 0 )

Onde ( x 0 ,   y 0 ) é o ponto dado e m é o nosso coeficiente angular, que é numericamente igual a derivada da função no ponto, ou seja:

m = f ' ( x 0 )

Então, vamos derivar a nossa função, aplicar o valor de x 0 do ponto e substituir os dados do enunciado na equação da reta tangente.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada de f x = x 3 em relação a x :

f ' x = 1 3 x 1 3 - 1 = 1 3 x 2 3

Aplicando o valor x 0 = 2 , temos:

f ' 2 = 1 3 2 2 3 = 1 3 4 3

Esse é o nosso coeficiente angular:

m = 1 3 4 3

Então, substituindo m = 1 3 4 3 e x 0 ,   y 0 = 2 , 2 3 na equação da reta, temos:

y - y 0 = m ( x - x 0 )

y - 2 3 = 1 3 4 3 x - 2

Isolando y :

y = 1 3 4 3 ( x + 4 )

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

y = 1 3 4 3 ( x + 4 )

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