Determine a equação do plano tangente ao gráfico de f ( x , y ) no ponto indicado.

a) f x , y = y ⋅ ln ⁡ x , no ponto ( 1,4 , 0 ) .

Passo 1

Faaaaala galera, tudo tranquilo com vocês?

Nessa questão temos uma função de duas variáveis dada por:

f x , y = y ⋅ ln ⁡ x

Como vocês podem imaginar, essa função determina um gráfico. Como trata-se de uma função de duas variáveis, esse gráfico é uma superfície. Cada ponto dessa superfície é descrito por:

x , y , f x , y

O nosso objetivo aqui é calcular a equação do plano tangente a essa superfície no ponto ( 1,4 , 0 ) .

Sacaram?

Maaas, tem uma equação que é fundamental quando queremos calcular plano tangente à uma função f . Vocês lembramm?

Basicamente, a equação é determinada por:

∇ F x 0 , y 0 , z 0 ⋅ x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 = 0

Beleza, O ponto ( x 0 , y 0 , z 0 ) que aparece nessa expressão é justamente o ponto da superfície que o nosso plano está tangenciando. No caso dessa questão é ( 1,4 , 0 ) .

Mas ué, quem que é essa função F ( x , y , z ) ?

Então gente, essa função é obtida da seguinte forma:

1) Pegamos a função f ( x , y ) dada e substituímos por z :

f x , y =   z = y ⋅ ln ⁡ x

2) Jogamos todas as variáveis para o lado esquerdo da equação:

z - y ⋅ ln ⁡ x = 0  

3) Chamamos de F x , y , z a equação deixada do lado esquerdo da equação:

F x , y , z = z - y ⋅ ln ⁡ x

Prontinho! Essa é a nossa F ( x , y , z ) .

Pra calcular o seu gradiente, basta fazermos:

∇ F x , y , z = ∂ F ∂ x , ∂ F ∂ y , ∂ F ∂ z

E depois aplicamos no ponto ( x 0 , y 0 , z 0 ) .

Show de bola?

Então, vamos começar calculando o gradiente, e depois substituímos na nossa equação geral para o plano tangente. Beleza?

Passo 2

Bom, precisamos determinar o gradiente da nossa função F ( x , y , z ) :

F x , y , z = z - y ⋅ ln ⁡ x

Como vimos no passo anterior, o gradiente de uma função é calculado através das derivadas parciais da seguinte forma:

∇ F x , y , z = ∂ F ∂ x , ∂ F ∂ y , ∂ F ∂ z

Show! Então vamos começar pela derivada parcial em relação a x :

∂ F ∂ x = ∂ z - y ⋅ ln ⁡ x ∂ x

Já que a derivada da soma é a soma das derivadas:

∂ F ∂ x = ∂ z ∂ x - ∂ y ⋅ ln ⁡ x ∂ x

Como nessa derivada parcial y e z são constantes, a derivada de z é nula e podemos colocar y para fora da derivada:

∂ F ∂ x = 0 - y ⋅ ∂ ln ⁡ x ∂ x

Daí, lembrando que ln ⁡ x ' = 1 / x   , temos:

∂ F ∂ x = - y ⋅ 1 x

Perfeito! Bora agora pra derivada parcial em relação a y :

∂ F ∂ y = ∂ z - y ⋅ ln ⁡ x ∂ y

Novamente zerando a derivada de z e usando que ln ⁡ x   é uma constante:

∂ F ∂ y = 0 - ln ⁡ x ⋅ ∂ y ∂ y

= - ln ⁡ x

Por fim, derivando em relação a z :

∂ F ∂ z = ∂ z - y ⋅ ln ⁡ x ∂ z

Agora o jogo virou haha, e y ⋅ ln ⁡ x   é uma constante. Assim:

∂ F ∂ z = ∂ z ∂ z - 0 = 1

Excelente! Juntando tudo, temos:

∇ F x , y , z = ∂ F ∂ x , ∂ F ∂ y , ∂ F ∂ z

= - y x , - ln ⁡ x , 1

Pra finalizar, devemos lembrar que queremos o gradiente de F no ponto x 0 , y 0 , z 0 = ( 1,4 , 0 ) .

Substituindo:

∇ F 1,4 , 0 = - 4 1 , - ln ⁡ 1 ,   1

= ( - 4,0 , 1 )

Muito bom!

Passo 3

Como já encontramos o gradiente de F :

∇ F x 0 , y 0 , z 0 = - 4,0 , 1

E, também sabemos que o ponto de tangência é ( 1,4 , 0 ) . Lembrando que a equação do plano é da forma:

∇ F x 0 , y 0 , z 0 ⋅ x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 = 0

Temos:

- 4,0 , 1 ⋅ x - 1 ,   y - 4 ,   z - 0 = 0

Fazendo o produto escalar, vem que:

- 4 x - 1 + 0 y - 4 + 1 z - 0 = 0

- 4 x + 4 + z = 0

- 4 x + z =   - 4

E, é isso gente!! Encontramos a equação do plano tangente! Espero que vocês tenham curtido a solução, até a próxima 😊

Resposta

- 4 x + z =   - 4

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