UFJF, Sem Campus, Cálculo 2, Listas Cálculo 2 - UFJF - 2° Lista - 2022.2, Questão 1a
Determine a equação do plano tangente ao gráfico de no ponto indicado.
a) , no ponto .
Passo 1
Faaaaala galera, tudo tranquilo com vocês?
Nessa questão temos uma função de duas variáveis dada por:
Como vocês podem imaginar, essa função determina um gráfico. Como trata-se de uma função de duas variáveis, esse gráfico é uma superfície. Cada ponto dessa superfície é descrito por:
O nosso objetivo aqui é calcular a equação do plano tangente a essa superfície no ponto .
Sacaram?
Maaas, tem uma equação que é fundamental quando queremos calcular plano tangente à uma função . Vocês lembramm?
Basicamente, a equação é determinada por:
Beleza, O ponto que aparece nessa expressão é justamente o ponto da superfície que o nosso plano está tangenciando. No caso dessa questão é .
Mas ué, quem que é essa função ?
Então gente, essa função é obtida da seguinte forma:
1) Pegamos a função dada e substituímos por :
2) Jogamos todas as variáveis para o lado esquerdo da equação:
3) Chamamos de a equação deixada do lado esquerdo da equação:
Prontinho! Essa é a nossa .
Pra calcular o seu gradiente, basta fazermos:
E depois aplicamos no ponto .
Show de bola?
Então, vamos começar calculando o gradiente, e depois substituímos na nossa equação geral para o plano tangente. Beleza?
Passo 2
Bom, precisamos determinar o gradiente da nossa função :
Como vimos no passo anterior, o gradiente de uma função é calculado através das derivadas parciais da seguinte forma:
Show! Então vamos começar pela derivada parcial em relação a :
Já que a derivada da soma é a soma das derivadas:
Como nessa derivada parcial e são constantes, a derivada de é nula e podemos colocar para fora da derivada:
Daí, lembrando que , temos:
Perfeito! Bora agora pra derivada parcial em relação a :
Novamente zerando a derivada de e usando que é uma constante:
Por fim, derivando em relação a :
Agora o jogo virou haha, e é uma constante. Assim:
Excelente! Juntando tudo, temos:
Pra finalizar, devemos lembrar que queremos o gradiente de no ponto .
Substituindo:
Muito bom!
Passo 3
Como já encontramos o gradiente de :
E, também sabemos que o ponto de tangência é . Lembrando que a equação do plano é da forma:
Temos:
Fazendo o produto escalar, vem que:
E, é isso gente!! Encontramos a equação do plano tangente! Espero que vocês tenham curtido a solução, até a próxima 😊