Seja b uma constante e seja f x = sin ⁡ [ ln ⁡ ( 1 + b sin ⁡ π x ) ] - b x ³ . Encontre o valor de b para que a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto x = 1 seja 5.

Passo 1

Em outras palavras, a questão pede o valor de b para que o coeficiente angular da reta tangente, isto é, a derivada seja igual a 5 . Por isso, vamos começar derivando.

f ' x = cos ⁡ [ ln ⁡ ( 1 + b sin ⁡ π x ) ] [ ln ⁡ ( 1 + b sin ⁡ π x ) ] ' - 3 b x ²

f ' x = cos ⁡ [ ln ⁡ ( 1 + b sin ⁡ π x ) ] 1 1 + b sin ⁡ π x ( 1 + b sin ⁡ π x ) ' - 3 b x ²

f ' x = - 3 b x 2 + cos ⁡ [ ln ⁡ ( 1 + b sin ⁡ π x ) ] 1 1 + b sin ⁡ π x ( b cos ⁡ π x ) ( π x ) '

f ' x = - 3 b x 2 + cos ⁡ [ ln ⁡ ( 1 + b sin ⁡ π x ) ] 1 1 + b sin ⁡ π x ( b cos ⁡ π x ) ( π )

f ' x = - 3 b x 2 + cos ⁡ [ ln ⁡ ( 1 + b sin ⁡ π x ) ] ( π b cos ⁡ π x ) 1 + b sin ⁡ π x

Passo 2

O ponto em questão é x = 1 . Portanto, vamos substituir x = 1 na derivada.

f ' 1 = - 3 b ( 1 ) ² + cos ⁡ [ ln ⁡ ( 1 + b sin ⁡ π 1 ) ] ( π b cos ⁡ π 1 ) 1 + b sin ⁡ π 1

f ' 1 = - 3 b + cos ⁡ [ ln ⁡ ( 1 + b sin ⁡ π ) ] ( π b cos ⁡ π ) 1 + b sin ⁡ π

f ' 1 = - 3 b + cos ⁡ [ ln ⁡ ( 1 + b ( 0 ) ) ] ( π b ( - 1 ) ) 1 + b ( 0 )

f ' 1 = - 3 b + cos ⁡ [ ln ⁡ ( 1 ) ] ( - π b ) 1

f ' 1 = - 3 b + cos ⁡ [ ln ⁡ ( 1 ) ] ( - π b )

f ' 1 = - 3 b + cos ⁡ [ 0 ⁡ ] ( - π b )

f ' 1 = - 3 b + 1 ( - π b )

f ' 1 = - 3 b - π b

Passo 3

Como queremos que

f ' 1 = 5

Podemos fazer

- 3 b - π b = 5

b ( - 3 - π ) = 5

b = 5 - 3 - π

b = - 5 3 + π

Resposta

b = - 5 3 + π

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