Seja f uma função tal que a equação da reta tangente ao gráfico de f em x = 1 é y = 3x - 2

  1. Seja g(x) = f(e^(2x)) . Determine a reta tangente ao gráfico da g em x = 0
  2. Seja h(x) = f(f(e^(2x))) . Determine a reta tangente ao gráfico da h em x = 0

Passo 1

a )

A reta tangente de g em x = 0 vai ser

y - g 0 x - 0 = g ' 0

Precisamos achar g 0 e g ' 0 , vamos começar com g 0

g 0 = f e 2 ∙ 0 = f e 0 = f 1

Então na verdade vamos precisar de f 1 , mas olha o que ele disse ali da função f , que aquela reta y = 3 x - 2 é tangente em x = 1 , isso nos diz que o valor da reta em x = 1 é o mesmo valor da função f x em x = 1

Então

f 1 = y = 3 ∙ 1 - 2 = 3 - 2 = 1

E vamos ter

f 1 = 1

Beleza, já achamos g 0 , que vai ser

g 0 = f 1 = 1

Passo 2

Vamos agora para g ' 0

Para isso primeiro vamos achar g ' x aplicando a regra da cadeia

g ' x = f ' e 2 x ∙ 2 e 2 x

g ' 0 = f ' e 2 ∙ 0 ∙ 2 e 2 ∙ 0

g ' 0 = f ' 1 ∙ 2

g ' 0 = 2 f ' 1

Temos que achar f ' 1

Lembra da reta tangente a f em x = 1 vamos ter que a equação da reta vai ser

y - f 1 x - 1 = f ' 1

Já temos f 1

y - 1 x - 1 = f ' 1

y - 1 = x - 1 f ' 1

y - 1 = x f ' 1 - f ' 1

y = x f ' 1 - f ' 1 + 1

A reta que ele deu vai ser

y = 3 x - 2

Comparando vamos ter

f ' 1 = 3

E isso nos diz que

g ' 0 = 2 ∙ 3 = 6

Passo 3

A reta tangente de g em x = 0 vai ficar

y - 1 x - 0 = 6

y - 1 = 6 x

y = 6 x + 1

Passo 4

b )

Vamos agora para a reta tangente de h em x = 0 , ela vai ser

y - h 0 x - 0 = h ' 0

Precisamos achar h 0 e h ' 0 , vamos começar com h 0

h 0 = f f e 2 ∙ 0 = f f e 0 = f f 1

já vimos que f 1 = 1 então vai ficar

h 0 = f f 1 = f 1 = 1

E já encontramos h 0

Passo 5

Vamos agora para h ' 0

Para isso primeiro vamos achar h ' x aplicando a regra da cadeia

h ' x = f ' f e 2 x ∙ f e 2 x '

h ' x = f ' f e 2 x ∙ f ' e 2 x ∙ 2 e 2 x

Vamos agora trocar x = 0

h ' 0 = f ' f e 2 ∙ 0 ∙ f ' e 2 ∙ 0 ∙ 2 e 2 ∙ 0

h ' 0 = f ' f 1 ∙ f ' 1 ∙ 2

Já achamos lá em cima o valor de f 1 e o valor de f ' 1

h ' 0 = f ' 1 ∙ 3 ∙ 2

h ' 0 = 3 ∙ 3 ∙ 2

h ' 0 = 18

E a reta tangente de h em x = 0 vai ficar

y - 1 x - 0 = 18

y - 1 = 18 x

y = 18 x + 1

Resposta

  1. y = 6 x + 1
  2. y = 18 x + 1

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