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Exercícios Resolvidos de Reta tangente

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Enunciado

Regras de Derivação II

Seja f x = x 2 e x - 1

b Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto em que x = 1 .

Passo 1

Vamos usar a Regra do Produto para essa questão:

Temos o produto de x 2 com e x - 1

f ' x = x 2 ' e x - 1 + x 2 e x - 1 '

f ' x = 2 x e x - 1 + x 2 e x - 1 '

Opa, temos que fazer a derivada de uma função exponencial com uma função no expoente. Agora vamos precisar fazer a regra da cadeia em e x - 1

Passo 2

Vamos fazer a derivada de g x = e x - 1 , chamei de g x só para facilitar nossa conta.

Repara que temos duas funções ali, uma é a função que está no expoente

u x = x - 1

A outra é o e elevado a essa função, que no fundo é a função

h x = e x

Assim

g x = h u x

Aplicando a regra da cadeia, teremos

g ' x = h ' u x u ' x

Vamos achar a derivada de h e de u

h ' x = e x

u ' x = 1

Assim

g ' x = e u x . 1 = e x - 1

Passo 3

Agora, voltando para f x , tínhamos

f ' x = 2 x e x - 1 + x 2 e x - 1 '

Substituindo o valor que achamos de e x - 1 ' , vamos ter

f ' x = 2 x e x - 1 + x 2 e x - 1

Colocando e x - 1 em evidência, vamos ter

f ' x = ( 2 x + x 2 ) e x - 1

Passo 4

Para a reta tangente devemos lembrar que f ' ( x ) no x indicado (no caso é x = 1 ) será o coeficiente angular a de uma reta no formato y = a x + b ou y - y 0 = a ( x - x 0 ) :

f ' x = f ' x = x 2 ' e x - 1 + x 2 e x - 1 '

= ( x 2 + 2 x ) e x - 1

f ' 1 = a = 1 2 + 2 1 e 1 - 1

= 1 + 2 1

= 3

Passo 5

Agora, para descobrir o b da nossa reta temos que lembrar que essa reta satisfaz ao ponto 1 , f 1 , que valerá 1 , 1 2 e 1 - 1 = ( 1,1 ) . Logo,

y = a x + b → 1 = 3 1 + b

b = - 2

Resposta

y = 3 x - 2

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