USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 2 - Várias Variáveis, Limites e Continuidade, Questão 1.3b
1.3. Encontre uma parametrização para a curva de nível de nos casos:
a. ,
Determine a reta tangente às curvas acima nos pontos , e , respectivamente.
Passo 1
Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉
Nessa questão queremos duas coisas... a primeira é parametrizar a curva de nível da função em e a segunda coisa é obter a reta tangente no ponto .
E aí, como podemos fazer isso? 👀
Para determinar a curva paramétrica de em , temos que fazer e substituir por , assim, isolando uma das variáveis ou encontrando alguma característica da equação podemos fazer uma mudança de variáveis para reescrever a curva como uma única variável.
Já para obter a reta tangente a no ponto dado, temos que obter a variável do vetor paramétrico e fazer
Sacou? Bora começar! 😁
Passo 2
Primeiro vamos fazer
Elevando os dois lados ao quadrado...
Assim, com
Ou seja, essa curva de nível se trata de uma elipse centrada em
Para parametrizar essa reta, podemos fazer e, portanto, para satisfazer a igualdade
Assim, o vetor paramétrico dessa curva é dado por
Tranquilo até aqui? 😉
Passo 3
Agora para obter a reta tangente a no ponto
Temos que aplicar a equação
Onde é o ponto onde .
Obtendo , temos
Portanto
Derivando , temos
Fazendo
Substituindo em
Sacou como faz? Responde Aí! 😉
