Prove que a função

f(x) = x^5 + 5*x^3 + 2*x - 4

é invertível em R e calcule (f^(-1))'(4)

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Calc1!!! Nosso objetivo é mostrar que que a função

  f ( x )   =   x 5   +   5 x 3   +   2 x   −   4

é invertível em   R e calcule   ( ( f ) - 1 ) ' ( 4 ) .

Passo 2

para mostrarmos que a função

  f ( x )   =   x 5   +   5 x 3   +   2 x   −   4

é invertível em   R , precisamos mostrar que ela é estritamente crescente. Isto é sua derivada é

não negativa, e só pode valer zero em um conjunto enumerável de pontos

Vamos começar calculando sua derivada

  f ' ( x )   =   d d x x 5   +   5 x 3   +   2 x   −   4

=   5 x 4   +   15 x 2   +   2

Que é sempre positiva. Logo, f é invertível

Passo 3

Agora, vamos calcular

( ( f ) - 1 ' ( 4 )

Sabemos que

f - 1 ( f ( x ) ) = x

Então, derivando e usando a regra da cadeia

f - 1 ' ( f ( x ) ) * f ' ( x ) = 1

Logo

( f - 1 ) ' ( x ) = 1 / f ' ( x )

Como queremos ( f - 1 ) ' ( 4 ) . Basta tomarmos x = 1 que temos:

( f - 1 ) ' ( 4 ) = 1 / 22

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

D e s e n v o l v i m e n t o   A c i m a

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