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Exercícios Resolvidos de Reta tangente

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Enunciado

UFRJ – Cálculo 1 – Lista 4 – Questão 4d

Encontre a equação da reta tangente à curva y = f x no ponto x 0 , y 0 :

y = x x + 1 ,     x 0 , y 0 = 4 , 2 5

Passo 1

E aí, galerinha! Sem mais delongas, vamos ao que interessa!! Como achar a equação da reta tangente? Bem, saber isso é saber a inclinação da reta tangente, e essa inclinação é dada pela fórmula da derivada da função.

Formalmente falando, a reta tangente no ponto em que x = x 0 é dada por:

y - f x 0 = f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

Lembrando que f x 0 = y 0 , logo como já temos o par ordenado 4 , 2 5 , sabemos que quando x 0 = 4 ,     y 0 = 2 5

Daqui vemos que vamos precisar de alguns parâmetros pra encontrar nossa reta.

f x 0 = y 0 = 2 5

f ' x 0 → P r e c i s a m o s   e n c o n t r a r

Passo 2

Vamos agora fazer nossa derivada ali e vamos precisar a regra do quociente!!!

f g ' = f ' . g - f . g ' g 2

Vamos chamar de f = x = x 1 2 e g = x + 1

f ' = d d x x 1 2 = 1 2 x

g ' = d d x x + 1 = 1

Substituindo a gente vai ter o que?

f ' x = 1 2 x x + 1 - x 1 x + 1 2

Só que lembra que o enunciado já falou pra gente em qual ponto ele quer verificar a reta tangente? Ele disse que é em x = x 0 = 4 . Então vamos substituir!!!!

f ' 4 = 1 2 4 4 + 1 - 4 1 4 + 1 2 = 5 4 - 2 25

f ' 4 = - 3 4 × 1 25 = - 3 100

Passo 3

Agora vamos aplicar nossa equação da reta tangente!!!

y - f x 0 = f ' x 0 x - x 0

y - 2 5 = - 3 100 x - 4

100 y - 40 = - 3 x + 12

y = - 3 x + 28 100

y = - 0,03 x + 0,28

Resposta

y = - 0,03 x + 0,28

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