UFPE, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de Exercícios de Cálculo 3 - Profº Cilon Perusato - Lista 3, Questão 4b
Questão 4. Seja a superfície dada pela parte da esfera , calota esférica, que está acima do plano . Considere a função definida em uma região de que contém .
(b) Calcule dois vetores tangentes e um vetor normal a em um ponto genérico;
Passo 1
Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎
Nesse problema queremos obter dois vetores tangentes e um vetor normal a em quaisquer três pontos arbitrários.
E aí, parece difícil? 🤔
Nesse caso, como é uma calota esférica, os vetores normais a apontarão na direção radial da esfera formada pela calota.
Assim, para obter um vetor normal a , precisamos descobrir em qual ângulo e esse ponto está das referências e substituir na equação paramétrica de
Para obter um vetor tangente, podemos usar um outro vetor qualquer que não aponta para a mesma direção do vetor normal e usar a relação
Ou seja, o vetor tangente é igual ao produto vetorial entre um vetor qualquer diferente do vetor normal e o vetor normal.
Sacou? Bora começar! 😁
Passo 2
O que podemos fazer é obter os três vetores normais e escolher um deles para aplicar a equação do passo 1.
Dessa forma, as próprias coordenadas dos pontos podem ser convertidas para vetores normais, por exemplo
Dado um ponto que pertence a superfície para
Fazendo o resultado é um vetor normal a .
Por exemplo, se e , vamos obter
Então nosso primeiro vetor normal é dado por
Agora se , temos que ter
e , portanto
Obtendo o vetor normal a esse ponto, temos
Entendeu como a gente faz? 👀
Passo 3
E para um ponto onde , ...
Logo, o terceiro ponto é
Assim o vetor normal a esse ponto é
Para esse terceiro ponto, vamos obter o vetor tangente, sendo que um vetor tangente e um vetor normal são ortogonais, ou seja
Vamos usar um vetor unitário qualquer por exemplo , assim, temos
Calculando o produto vetorial entre esses dois vetores, vamos obter
Assim, um vetor tangente a no ponto é dado por
Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁
Resposta
Para o ponto
Para o ponto
Para o ponto