UTFPR - Sem Campus - Cálculo Diferencial e Integral 1 - Provas - Teste 9 - AV2 - 2022.1 - Questão 5 - Alternativa b)
Suponha que é dada implicitamente pela equação . Suponha que .
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto de abscissa .
Passo 1
Eaew, tudo certinho?
O enunciado nos deu uma definição implícita de uma função , da seguinte forma
a definição ser implícita tem relação com o fato que não está escrita exatamente no formato de . O enunciado pede para que suponhamos e que determinemos a reta tangente ao gráfico de no ponto em que . Para fazermos isso vamos utilizar a equação geral da reta como
e, como temos que esta é a reta tangente a curva , podemos identificar que , ou seja, a derivada da função avaliada no ponto . Na alternativa anterior nós calculamos que utilizando o método de Briot Ruffini, dê uma olhada no site se estiver com dúvidas em como fazer isso! Mas aqui apresentei tudo que precisamos para resolver esta alternativa! Bora lá!
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular a derivada de , mas como é definida implicitamente, temos que utilizar a regra da cadeia, a função é tal que
Derivando os dois lados em relação a , temos que
Aqui vamos precisar utilizar a regra da cadeia, a regra do produto e a regra do tombo. Utilizando a regra do produto, tal que
Podemos expandir a nossa derivada como
Vamos utilizar a regra da cadeia! Você lembra dela? Vem comigo!
Passo 3
A regra da cadeia funciona da seguinte maneira, se temos uma função composta definida como
Temos que a derivada desta função será dada por
Aplicando isso em nossa derivada, junto com a regra do tombo
Obtemos que a derivada resulta em
3
Ou reescrevendo os termos temos que
O que queremos é , então basta isolar na equação acima, temos que
Agora é só utilizarmos esta derivada para obter os coeficientes da nossa equação da reta! Saca só!
Passo 4
Temos que o coeficiente angular da reta tangente no ponto é tal que
como obtemos que , usamos a derivada que obtemos no passo anterior para calcular
em que usei e . Resolvendo as somas acima, temos
A reta tangente pode ser escrita então como
Mas como achamos ? Usando um ponto que pertence a reta! Como estamos tangente a curva no ponto , podemos usar esse! Bora lá!
Passo 5
Avaliando o ponto em nossa equação da reta, temos que
Isolando temos que
Finalmente! A nossa equação da reta tangente é
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!