Determinar a reta tangente, o hiperplano normal e a curvatura da curva

Em no ponto .

Vamos começar calculando a reta tangente a curva. Calculando , com , temos:

Agora vamos calcular a derivada de , que vai ser nosso :

Aplicando , temos:

Agora substituindo em , temos a nossa reta tangente:

Somando os vetores:

Calculando agora o hiperplano normal a curva , vamos usar a equação:

Sabendo que representa a equação de uma reta normal ao plano. O vetor diretor nos dá a direção dessa reta. E nós já vimos que também é um vetor normal ao plano. Então, calculando a segunda derivada de , para obter , vamos ter um vetor na direção normal que pode ser representado pelos coeficientes . Vamos com calma.

Derivando , obtemos:

Derivando novamente, temos:

Aplicando :

Essas são as coordenadas do vetor normal ao plano. Portanto:

Mas a gente viu no passo que no ponto , temos . Substituindo esse ponto junto com os valores de , , e na equação do plano , temos:

Isolando :

Então, nosso hiperplano será:

Por fim, vamos calcular a curvatura da curva usando a equação:

A gente já viu nos passos anteriores que e . Substituindo isso na fórmula da curvatura:

Só que agora a gente tem um probleminha, como é que a gente calcula o produto vetorial no ? Porque normalmente a gente faz isso usando o determinante da matriz formada pelos vetores, só que essa matriz precisa ser quadrada () e não ter pra ter uma matriz quadrada com componentes no vetor. Um saída seria usar a definição do módulo do produto vetorial na forma:

Mas a gente não sabe quem é o ângulo entre eles. Só que dá pra encontrar usando o produto escalar, que tem a fórmula:

Isolando o :

Usando e , no ponto , temos

Calculando o módulo desses vetores:

E produto escalar entre e :

Assim, temos:

Calculando o arco cosseno desse valor, temos aproximadamente:

Usando esse ângulo no cálculo do produto vetorial, vamos ter:

Aplicando esse resultado na fórmula da curvatura, temos:

Valeu, galera! Até a próxima! 😉