UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de C1 - Profº Rubens Sucupira - Lista 3, Questão 7
Encontre uma equação para a reta que contém o ponto (1, 0) e é tangente à curva .
Passo 1
Eaew, belezinha?
A questão pede para a gente determinar uma reta que contenha o ponto (1, 0) e que seja tangente à função dada. Uma reta é uma função bastante simples, porque só possui dois parâmetros que a definem completamente: sua inclinação (dada pelo coeficiente angular) e seu coeficiente linear. Primeiro, notemos que, como a reta tem que passar pelo ponto (1,0), ela possui o seguinte vínculo para seus parâmetros a e b
Então, qualquer reta que passe pelo ponto (1,0) deve possuir coeficiente linear igual à menos seu coeficiente angular (note que, no entanto, nem toda reta que passa por (1,0) é tangente à curva). Assim, podemos escrever a nossa reta no formato
Então agora, só precisamos determinar o coeficiente angular de modo que a reta acima corresponda a alguma reta tangente à curva . Para isso, vamos precisar de uma fórmula genérica para as retas tangentes a essa curva. E como a gente obtém isso? Calculando a derivada da função!
Então vamos lá derivar!
Passo 2
Como a derivada de uma função do tipo é simplesmente
E, como podemos escrever a função como , pela regra da cadeia, temos que a sua derivada é dada por:
Então, temos que a função que nos retorna a inclinação da reta tangente à curva em qualquer ponto x dado é . Então, podemos escrever uma equação de reta genérica para qualquer reta tangente à essa curva como
Onde é um ponto qualquer onde desejamos calcular a reta tangente. Além disso, lembre-se, a gente quer que essa reta passe pelo ponto (1,0). Então, temos a relação para a e b: b =-a. Assim, podemos escrever a equação da reta acima como
Mas agora, a gente quer saber para qual valor de essa reta, que é tangente à curva, passa pelo ponto (1,0). Sabendo que os pontos da curva são da forma , podemos substituir esse ponto na equação da reta acima e obter o valor de para o qual a reta tangente à curva passa por (1,0). Fazendo isso obtemos
Multiplicando os dois lados por , obtemos
Então, o ponto x para o qual a reta tangente passa pelo ponto (1,0) é o ponto de coordenadas (x=3, y=2). Nesse ponto, a inclinação da reta tangente é dada por
E, portanto, o coeficiente linear, que é simplesmente o negativo de a, é -1. Assim, a equação da reta que procuramos é dada por