Seja f ( x ) = t g 5 x +   2 4 ( arcsen ⁡ x + 1 ) . Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa x = 0 .

Passo 1

Bom, pela derivada da função em 0 obtemos o coeficiente angular da nossa reta em um formato y = a x + b , ou seja, f ' 0 = a . Vamos começar calculando f ' x :

f ' ( x ) = [ t g 5 x +   2 4 ] ' ( arcsen ⁡ x + 1 ) + t g 5 x +   2 4 ( arcsen ⁡ x + 1 ) '

= 4 t g 5 x +   2 3 t g 5 x +   2 ' arcsen ⁡ x + 1 + t g 5 x +   2 4 1 1 - x 2

= 4 t g 5 x +   2 3 5 sec 2 ⁡ 5 x arcsen ⁡ x + 1 + t g 5 x +   2 4 1 1 - x 2

Ok, está calculado. Vamos usar x = 0 nessa situação:

f ' 0 = 4 t g 0 +   2 3 5 sec 2 ⁡ 0 arcsen ⁡ 0 + 1 + t g 0 +   2 4 1 1 - 0 2

= 4   2 3 5 1 +   2 4 1

= 160 + 16

= 176

Para descobrir o valor do coeficiente linear da reta b temos que lembrar que a reta de equação y = 176 x + b também passa no ponto 0 , f 0 , onde f ( 0 ) vai valer:

f 0 = t g 0 +   2 4 arcsen ⁡ 0 + 1

=   2 4 1

= 16

Assim, a equação da reta satisfaz a 0,16 :

16 = 176 0 + b

b = 16

Enfim, temos a reta:

y = 176 x + 16

Resposta

y = 176 x + 16

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