Obtenha a equação da reta tangente à curva

y(y^2 - 1) / (y - 2) = x(x - 1) / (x - 2)

No ponto (1,0)

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício?

Para começar, precisamos lembrar aqui da equação da reta tangente:

y = f x 0 + f ' x 0 ( x - x 0 )

Substituindo o ponto ( 1,0 ) :

y = 0 + f ' 1 ( x - 1 )

Show, então a nossa missão agora é derivar a nossa função. Para isso, vamos derivar ela implicitamente.

Passo 2

Show galera, vamos derivar:

y y 2 - 1 y - 2 = x x - 1 x - 2

Primeiro, vamos abrir os polinômios para facilitar as nossas contas:

y 3 - y y - 2 = x ² - x x - 2

y 4 - 2 y 3 - y 2 + 2 y = x 3 - 3 x 2 + 2 x

Derivando:

4 y 3 y ' - 6 y 2 y ' - 2 y y ' + 2 y ' = 3 x 2 - 6 x + 2

Isolando y ' :

y ' = 3 x 2 - 6 x + 2 y 3 - 6 y 2 - 2 y + 2

Show, mas a gente ainda precisa calcular a derivada no ponto ( 1,0 ) . Para isso, vamos substituir:

y ' = 3 ( 1 ) - 6 ( 1 ) + 2 0 - 0 - 0 + 2

y ' = 3 - 6 + 2 2 = - 1 2

Jogando na fórmula da reta tangente:

y = f ' 1 ( x - 1 )

y = - 1 2 ( x - 1 )

y = 1 - x 2

Resposta

y = 1 - x 2

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