a) Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de y = f x no ponto P indicado:

f x = x ln ⁡ x       ;       P = 1,0

Passo 1

Antes de começarmos, vamos lembrar de uma coisa: a equação de uma reta tangente. Beleza, essa equação vai ser:

y - y 0 = m x - x 0

Onde x 0 , y 0 é o ponto de tangência e m é a inclinação da reta tangente. Ok, show de bola, o ponto de tangência já temos, que é P = 1,0 , então:

x 0 = 1

y 0 = 0

E logo:

y = m x - 1

Mas quem então vai ser m ? Bem, como inclinação de reta tangente tem tudo a ver com a primeira derivada da função, m vai ser ninguém mais e ninguém menos que a primeira derivada no ponto de tangência:

m = f ' x 0 = f ' 1

E é isso ai, vamos achar esse m agora então!

Passo 2

Antes de aplicar o ponto de tangência no m vamos derivar ele, beleza? A primeira derivada vai ser então:

f ' x = x ln ⁡ x '

Usando a regra do produto aqui, ficamos com:

f ' x = x ' ln ⁡ x + x ln ⁡ x '

f ' x = ln ⁡ x + x x = ln ⁡ x + 1

Como queremos f ' 1 , temos:

f ' 1 = ln ⁡ 1 + 1 = 0 + 1 = 1

A inclinação da reta tangente vai ser então:

m = f ' x 0 = f ' 1 = 1

E a equação da reta vai ser:

y = x - 1

Resposta

y = x - 1

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