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Exercícios Resolvidos de Reta tangente

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Enunciado

UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de C1 - Profº Rubens Sucupira - Lista 3, Questão 26

Determine uma equação da reta tangente à curva

x 2   +   x y   +   y 2   −   3 y   =   10

no ponto ( 2 ,   3 ) .

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Calc1!!! Nosso objetivo é calcular a equação da reta tangente a equação

x 2   +   x y   +   y 2   −   3 y   =   10

no ponto ( 2 ,   3 )

Passo 2

Para encontrarmos a reta tangente, vamos começar calculando a derivada da função em função de x .

Para isso, vamos usar a derivação implícita. Temos que

d d x y ( x ) = y ' ( x )

Então, derivando dos dois lados

x 2   +   x y   +   y 2   −   3 y   =   10

d d x x 2   +   x y   +   y 2   −   3 y = d d x 10

Usando a regra da cadeia

2 x + ( y + x y ' ) + 2 y y ' - 3 y ' = 0

⇒   y ' ( 2 y - 3 + x ) = - 2 x

⇒ y ' = - 2 x - y 2 y - 3 + x

Agora que temos a derivada, podemos calcular o coeficiente da reta tangente em qualquer ponto

Passo 3

Vamos calcular o coeficiente angular da reta tangente ao ponto ( 2 ,   3 ) . Então

m = y ' = - 2 x - y 2 y - 3 + x

= - 4 - 3 6 - 3 + 2

= - 7 5

Logo, a reta tangente ao ponto ( 2 ,   3 ) é dada por

y - y 0 = m ( x - x 0 )

Então a reta é

y - 3 = - 7 5 ( x - 3 )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

D e s e n v o l v i m e n t o   A c i m a

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