Considere a função f(x) = e^(2x) * sen(x) + cos(x) / x , que está definida para x ≠ 0.

  1. Calcule f'(x).
  2. Encontre a equação da reta r que é tangente ao gráfico de f no ponto (π / 2, e^π)

Passo 1

Vamos lá, gente bonita! Ta na hora de derivar!

Na letra a, ele nos pede a derivada dessa função:

f x = e 2 x s e n x + cos ⁡ x x

Podemos ver que como vamos derivar uma soma, podemos derivar separadamente a soma:

f ' x = e 2 x s e n x ' + cos ⁡ x x '

Passo 2

Olhando com carinho para essa primeira derivada

e 2 x s e n x '

percebemos que se trata da derivada de um produto entre duas funções, então temos que usar a Regra do Produto:

f ⋅ g ' = f ' ⋅ g + f ⋅ g '

Aplicando no nosso caso:

e 2 x s e n x ' = e 2 x ' ⋅ s e n x + e 2 x ⋅ s e n x '

Derivando essas partes:

e 2 x ' = 2 e 2 x

s e n x ' = c o s x

Voltando a Regra do Produto:

e 2 x s e n x ' = 2 e 2 x ⋅ s e n x + e 2 x ⋅ c o s x

Agora substituindo essa parte na derivada principal:

f ' ( x ) = e 2 x s e n x ' + cos ⁡ x x ' = 2 e 2 x ⋅ s e n x + e 2 x ⋅ c o s x + cos ⁡ x x '

Passo 3

Agora vamos derivar essa segunda parte:

cos ⁡ x x '

Se olharmos com atenção, perceberemos que se trata da derivada de duas funções que estão se dividindo, logo usaremos a Regra do Quociente:

f g ' = f ' ⋅ g - f ⋅ g ' g 2

Aplicando no nosso caso:

cos ⁡ x x ' = c o s x ' ⋅ x - c o s x ⋅ x ' x 2

Sabemos que essas derivadas são:

c o s x ' = - s e n x

x ' = 1

Então:

cos ⁡ x x ' = - s e n x ⋅ x - c o s x x 2

Voltando pra derivada principal:

f ' x = 2 e 2 x ⋅ s e n x + e 2 x ⋅ c o s x + cos ⁡ x x ' = 2 e 2 x ⋅ s e n x + e 2 x ⋅ c o s x - s e n x ⋅ x + c o s x x 2

Chegamos ao final da derivada do item a!

Passo 4

Agora vamos ao que nos pede a letra b: ele quer a reta tangente a função f no ponto π 2 , e π .

Vamos começar relembrando a reta tangente que toca a curva no ponto x 0 ,   y 0 tem que respeitar essa equação aqui:

y - y 0 = m x - x 0

Como a gente sabe que o ponto de encontro é π 2 , e π :

x 0 =   π 2

y 0 = e π

Na nossa equação:

y - e π = m x - π 2

Passo 5

Mas você me pergunta: quem é esse m ? Bem, ele é o coeficiente angular da reta.

Mas como eu encontro ele? Aha, ai que vem a relação com o item anterior.

O coeficiente angular da reta tangente vai ser igual à derivada a função no ponto x 0 e isso é uma coisa que você pode levar com você:

m = f ' x 0

Então, a derivada que nós calculamos antes, nós vamos aplicar o ponto x 0 :

m = f ' π 2

Como

f ' x = 2 e 2 x ⋅ s e n x + e 2 x ⋅ c o s x - s e n x ⋅ x + c o s x x 2

Então vamos substituir esse valor na derivada:

f ' π 2 = 2 e 2 π 2 ⋅ s e n π 2 + e 2 π 2 ⋅ cos ⁡ π 2 - s e n π 2 ⋅ π 2 + cos ⁡ π 2 π 2 2  

Simplificando:

f ' π 2 = 2 e π ⋅ s e n π 2 + e π ⋅ cos ⁡ π 2 - s e n π 2 ⋅ π 2 + cos ⁡ π 2 π 2 2

Calculando:

s e n π 2 = 1

c o s π 2 = 0

Então:

f ' π 2 = 2 e π ⋅ 1 + e π ⋅ 0 - 1 ⋅ π 2 + 0 π 2 2

Podemos simplificar esses produtos em:

f ' π 2 = 2 e π - π 2 π 2 2

Após essa divisão:

f ' π 2 = 2 e π - 1 π 2 = 2 e π - 2   π

Então nosso coeficiente angular é:

m = 2 e π - 2   π

Passo 6

Agora vamos substituir o m , que acabamos de achar, na nossa equação da reta:

y - e π = 2 e π - 2   π x - π 2

Fazendo esse produto:

y - e π = 2 e π - 2   π x - π e π + 1

E por fim isolando o y :

y = 2 e π - 2   π x - π e π + 1 + e π

E é isso aí!!!!

Resposta

  1. 2 e 2 x ⋅ s e n x + e 2 x ⋅ c o s x - s e n x ⋅ x + c o s x x 2

y = 2 e π - 2   π x - π e π + 1 + e π

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