UFSC – 2018.1 – P1
Considere a função , que está definida para
- Calcule
- Encontre a equação da reta que é tangente ao gráfico de no ponto
Passo 1
Vamos lá, gente bonita! Ta na hora de derivar!
Na letra a, ele nos pede a derivada dessa função:
Podemos ver que como vamos derivar uma soma, podemos derivar separadamente a soma:
Passo 2
Olhando com carinho para essa primeira derivada
percebemos que se trata da derivada de um produto entre duas funções, então temos que usar a Regra do Produto:
Aplicando no nosso caso:
Derivando essas partes:
Voltando a Regra do Produto:
Agora substituindo essa parte na derivada principal:
Passo 3
Agora vamos derivar essa segunda parte:
Se olharmos com atenção, perceberemos que se trata da derivada de duas funções que estão se dividindo, logo usaremos a Regra do Quociente:
Aplicando no nosso caso:
Sabemos que essas derivadas são:
Então:
Voltando pra derivada principal:
Chegamos ao final da derivada do item a!
Passo 4
Agora vamos ao que nos pede a letra b: ele quer a reta tangente a função no ponto .
Vamos começar relembrando a reta tangente que toca a curva no ponto tem que respeitar essa equação aqui:
Como a gente sabe que o ponto de encontro é :
Na nossa equação:
Passo 5
Mas você me pergunta: quem é esse ? Bem, ele é o coeficiente angular da reta.
Mas como eu encontro ele? Aha, ai que vem a relação com o item anterior.
O coeficiente angular da reta tangente vai ser igual à derivada a função no ponto e isso é uma coisa que você pode levar com você:
Então, a derivada que nós calculamos antes, nós vamos aplicar o ponto :
Como
Então vamos substituir esse valor na derivada:
Simplificando:
Calculando:
Então:
Podemos simplificar esses produtos em:
Após essa divisão:
Então nosso coeficiente angular é:
Passo 6
Agora vamos substituir o , que acabamos de achar, na nossa equação da reta:
Fazendo esse produto:
E por fim isolando o :
E é isso aí!!!!