Passo 1
Derivamos :
Repara que e são sempre positivos, o que gera que, com aquele sinal de menos, essa derivada seja sempre negativa.
Com isso, a gente nota que a função é estritamente decrescente no seu domínio de e nunca haverá dois valores de gerando o mesmo valor de , o que faz com que essa função seja injetiva e, portanto, inversível pelo Teorema da Função Inversa.
Passo 2
Procurando por :
Primeiro aqui, vamos ter que nos atentar a um detalhe, quem é o dentro dessa função inversa?
Veja que se então na função inversa... . Ou seja, é a inversa! Por comparação então...
Concluímos que quem é é o ! ☺
Vamos buscar então o para esse ...
Como o domínio comporta , temos
Como vimos, já que na inversa vale , logo...
Passo 3
Procurando por :
Para a derivada dessa inversa, usamos:
será dado pelo inverso da derivada aplicada a :
Passo 4
Queremos a reta tangente ao ponto , ou seja, a reta paralela a um ponto .
Temos esse coeficiente angular valendo , como acabamos de achar na letra . Além disso, .
Dessa forma, queremos a reta com e que passa no ponto .
A reta será:
Resposta
- Como em , satisfaz as hipóteses do TFI (Teorema da função inversa). Logo é invertível em ;
- e .