5) Seja f(x) = 210 / x com x > 0 . Pelo ponto A(6, 5) passam duas retas que tangenciam o gráfico de y = f(x) nos pontos P(x1, y1) e Q(x₂, y₂) .

O valor de (x₁, x₂)² é

Escolha uma:

A. 6047

B. 6048

C. 6049

D. 6046

E. 6050

Passo 1

Faaala pessoal! Como vocês estão? Com certeza estudando muito, né? Então bora pra mais uma questão!

Estão preparados para um exercício bem conceitual? O que esse enunciado está pedindo é que achemos duas retas que passam pelo ponto A e ainda sejam tangentes a f ( x ) .

Vale a pena, então, relembrarmos qual é a equação geral de uma reta:

y - y 0 = m ( x - x 0 )

Onde:

x ,   y e ( x 0 ,   y 0 ) são pontos pertencentes a reta.

m é o coeficiente angular da reta.

Passo 2

Perfeito! Como sabemos que o ponto A pertence a reta, podemos dizer que:

y - 5 = m ( x - 6 )

E agora, vamos definir m .

Esse é o coeficiente angular de uma reta em um determinado ponto. Então, podemos definir m no ponto que está faltando na nossa equação geral da reta.

Mas como definir m ?

Isso mesmo, vamos derivar f ( x ) !

f ' x = m = - 210 x 2

Passo 3

Podemos reescrever nossa equação geral mais uma vez:

y - 5 = - 210 x 2 ( x - 6 )

Outra coisa que podemos reescrever é que:

y = f x = 210 x

Ou seja, como o outro ponto da nossa reta pertence a curva f ( x ) , y será definido pela função.

Reescrevendo:

210 x - 5 = - 210 x 2 ( x - 6 )

Passo 4

Como você já percebeu, a nossa variável é x , justamente o que precisamos encontrar para finalizarmos o exercício. Então vamos calcular!

210 x - 5 = - 210 x + 1260 x 2

- 1260 x 2 + 420 x - 5 = 0

Podemos multiplicar x 2 em todos os termos:

- 1260 + 420 x - 5 x 2 = 0

Calculando a equação do segundo grau:

x = 42 ± 6 42

Ou seja, as duas coordenadas de x dos pontos que formarão as retas tangentes a y , são:

x 1 = 42 + 6 42

x 2 = 42 - 6 42

Passo 5

Finalmente, podemos calcular x 1 ,   x 2 2 :

42 + 6 42 - 42 + 6 42 2

6 42 + 6 42 2

12 42 2

144 * 42

Então:

6048

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

B. 6048

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