UFMG; Cálculo 1; Prova 2 – 2020.2; Exercício 5
5) Seja com . Pelo ponto passam duas retas que tangenciam o gráfico de nos pontos e .
O valor de é
Escolha uma:
A.
B.
C.
D.
E.
Passo 1
Faaala pessoal! Como vocês estão? Com certeza estudando muito, né? Então bora pra mais uma questão!
Estão preparados para um exercício bem conceitual? O que esse enunciado está pedindo é que achemos duas retas que passam pelo ponto e ainda sejam tangentes a .
Vale a pena, então, relembrarmos qual é a equação geral de uma reta:
Onde:
e são pontos pertencentes a reta.
é o coeficiente angular da reta.
Passo 2
Perfeito! Como sabemos que o ponto pertence a reta, podemos dizer que:
E agora, vamos definir .
Esse é o coeficiente angular de uma reta em um determinado ponto. Então, podemos definir no ponto que está faltando na nossa equação geral da reta.
Mas como definir ?
Isso mesmo, vamos derivar !
Passo 3
Podemos reescrever nossa equação geral mais uma vez:
Outra coisa que podemos reescrever é que:
Ou seja, como o outro ponto da nossa reta pertence a curva , será definido pela função.
Reescrevendo:
Passo 4
Como você já percebeu, a nossa variável é , justamente o que precisamos encontrar para finalizarmos o exercício. Então vamos calcular!
Podemos multiplicar em todos os termos:
Calculando a equação do segundo grau:
Ou seja, as duas coordenadas de dos pontos que formarão as retas tangentes a , são:
Passo 5
Finalmente, podemos calcular :
Então:
Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?
Resposta
B.