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Exercícios Resolvidos de Reta tangente

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Enunciado

UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de C1 - Profº Rubens Sucupira - Lista 3, Questão 29

Determine uma equação da reta tangente à curva

e c o s ( x ) + e s i n ( y ) = 2

no ponto ( π / 2 ,   0 ) .

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Calc1!!! Nosso objetivo é calcular a equação da reta tangente a equação

e c o s ( x ) + e s i n ( y ) = 2

no ponto ( π / 2 ,   0 )

Passo 2

Para encontrarmos a reta tangente, vamos começar calculando a derivada da função em função de x .

Para isso, vamos usar a derivação implícita. Temos que

d d x y ( x ) = y ' ( x )

Então, derivando dos dois lados

e c o s ( x ) + e s i n ( y ) = 2

d d x e c o s ( x ) + e s i n ( y ) = d d x 2

Usando a regra da cadeia

- e c o s ( x ) s i n ( x ) + e s i n ( y ) c o s ( y ) * y ' = 0

Então

y ' = e c o s ( x ) s i n ( x ) e s i n ( y ) c o s ( y )

Agora que temos a derivada, podemos calcular o coeficiente da reta tangente em qualquer ponto

Passo 3

Vamos calcular o coeficiente angular da reta tangente ao ponto   ( π / 2 ,   0 ) . Então

m = y ' = e c o s ( x ) s i n ( x ) e s i n ( y ) c o s ( y )

y ' = 1

Logo, a reta tangente ao ponto   ( π / 2 ,   0 ) é dada por

y - y 0 = m ( x - x 0 )

Então a reta é

y = 1 ( x - π / 2 )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

D e s e n v o l v i m e n t o   A c i m a

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