Considere a função g x = 3 log 2 5 ⁡ 4 - 7 x + 6

a Determine o domínio de g

b Calcule g ' a derivada de g

c Determine uma expressão para a inversa de g

d Determine a equação da reta tangente ao gráfico da inversa de g em g 18 35 , 18 35

Passo 1

Para ver o domínio, o logaritmo deve ser maior que 0 :

4 - 7 x > 0

x < 4 7

Esse é o único fator limitando do domínio da função. Logo,

D o m :   ] - ∞ , 4 7 [

Passo 2

b Derivando a função:

g ' x = 3 log 2 5 ⁡ 4 - 7 x + 6 '

= 3 log 2 5 ⁡ 4 - 7 x ' + 6 ' = 3 ln ⁡ 2 5 4 - 7 x ' 4 - 7 x + 0

g ' x =   3 ln ⁡ 2 5 - 7 4 - 7 x = - 21 ln ⁡ 2 5 1 4 - 7 x

Passo 3

c Vamos determinar a inversa isolando x em relação a y = g x :

y = 3 log 2 5 ⁡ 4 - 7 x + 6

y - 6 3 = log 2 5 ⁡ 4 - 7 x

2 5 y 3 - 2 = 4 - 7 x

x = 1 7 4 - 2 5 y 3 - 2

Substituindo x por g - 1 y , inversa de g x , ficamos:

g - 1 y = 1 7 4 - 2 5 y 3 - 2

Passo 4

d Primeiro, vamos descobrir quem é g 18 35 :

g 18 35 = 3 log 2 5 ⁡ 4 - 7 18 35 + 6

= 3 log 2 5 ⁡ 4 - 18 5 + 6 = 3 log 2 5 ⁡ 2 5 + 6

= 3 1 + 6 = 9

Logo, queremos a reta tangente a 9 , 18 35 . Podemos descobrir seu coeficiente angular pelo teorema da inversa:

g - 1 y = 1 g ' x = 1 - 21 ln ⁡ 2 5 1 4 - 7 x

Quando x = 18 35 :

g - 1 9 = 1 - 21 ln ⁡ 2 5 1 4 - 7 18 35 = ln ⁡ 2 5 - 21 1 4 - 18 5

= ln ⁡ 2 5 - 21 5 2 = - 2 ln ⁡ 2 5 105

Passo 5

Aplicando na equação da reta, esse seria o nosso coeficiente angular.

Assim, em y = a x + b , seria a = - 2 ln ⁡ 2 5 105 e ficaria:

18 35 = - 2 ln ⁡ 2 5 105 9 + b

b = 18 + 6 ln ⁡ 2 5 35

Logo, a reta será:

y = - 2 ln ⁡ 2 5 105 x + 18 + 6 ln ⁡ 2 5 35

Resposta

a   D o m :   ] - ∞ , 4 7 [

b   g ' x = - 21 ln ⁡ 2 5 1 4 - 7 x

c   g - 1 y = 1 7 4 - 2 5 y 3 - 2

d   y = - 2 ln ⁡ 2 5 105 x + 18 + 6 ln ⁡ 2 5 35

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