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Exercícios Resolvidos de Reta tangente

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Enunciado

UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de C1 - Profº Rubens Sucupira - Lista 3, Questão 35

Mostre que as circunferências

  x 2   +   y 2   −   12 x   −   6 y   +   25   =   0   e   x 2   +   y 2   +   2 x   +   y   =   10

são tangentes no ponto ( 2 ,   1 ) .

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Calc1!!! Nosso objetivo é mostrar que as circunferências

  x 2   +   y 2   −   12 x   −   6 y   +   25   =   0   e   x 2   +   y 2   +   2 x   +   y   =   10

são tangentes no ponto ( 2 ,   1 ) .

Passo 2

Para mostrarmos que as circunferências são tangentes. Basta mostrarmos que elas têm a mesma reta tangente no ponto ( 2 ,   1 ) .

Vamos começar calculando as derivadas de cada circunferência

x 2   +   y 2   −   12 x   −   6 y   +   25   =   0

Usando a regra da cadeia

Então

d d x x 2   +   y 2   −   12 x   −   6 y   +   25     = d d x   0

2 x   + 2 y y '   -   12   - 6 y '   =   0

Logo no ponto ( 2 ,   1 ) . Temos que

y ' = - 2

Agora, da segunda circunferência

x 2   +   y 2   +   2 x   +   y   =   10

Usando a regra da cadeia

Então

d d x x 2   +   y 2   +   2 x   +   y = d d x   10

2 x   + 2 y y '   + 2   + y '   =   0

Logo no ponto ( 2 ,   1 ) . Temos que

y ' = - 2

Passo 3

Agora que temos as derivadas das circunferências nos pontos ( 2 ,   1 ) . Vamos calcular as retas tangentes

Logo, a reta tangente ao ponto ( 2 ,   1 ) é dada por

y - y 0 = m ( x - x 0 )

Então a reta é

y - 1 = - 2 ( x - 2 )

Ou seja, temos a mesma reta tangente ao ponto ( 2 ,   1 ) . Logo as circunferências são tangentes

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

D e s e n v o l v i m e n t o   A c i m a

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