(a) Determine a equação da reta tangente ao gráfico y = x 4 no ponto 2,16

(b) Encontre a área da região do plano delimitada pela reta do item anterior, o gráfico de y = x 4 e o eixo O y

Passo 1

(a)Escolher e montar a equação da reta

Show de bola, vamos lá! Existem duas equações de reta possíveis:

y = a x + b

y - y 0 = a x - x 0

As duas são válidas, mas as vezes só uma ajuda no que o enunciado pede. Como o enunciado pede a reta em um ponto de tangência e não a reta que passa por um ponto qualquer, a melhor equação é a segunda, onde x 0 , y 0 .

Beleza, mas quem é esse a ai mesmo? Essa constante vai ser a inclinação da reta tangente, que vai ser igual à:

a = f ' x 0

Nossa equação de reta vai ser então:

y - y 0 = f ' x 0 x - x 0

E como o ponto de tangência é dado, temos:

y = f ' x 0 x - 2 + 16

Passo 2

Achar a inclinação da reta tangente

Agora vem a parte mais braçal: a inclinação da reta tangente. Pra isso, precisamos derivar f x primeiro. Então vamos lá:

f ' x = d d x x 4 = 4 x 3

Agora, no ponto de tangência, vamos ter:

a = f ' 2 = 4.2 3 = 32

Passo 3

Terminar de montar da equação da reta e ver o gráfico

Perfeito! Fechamos! Temos tudo pra montar a equação da reta. A reta vai ficar:

y = 32 x - 2 + 16

Graficamente:

Passo 4

(b) Encontrar a região do enunciado

Infelizmente não acabamos ainda. A questão ainda pede uma área de uma região. Estando essa região delimitada por y = x 4 , o eixo O y e y = 32 x - 2 + 16 , graficamente teremos:

Portanto podemos entender essa área como a soma dessas áreas:

Menos essa última área:

A primeira coisa que temos que fazer é encontrar a raiz da reta, beleza? Isso vai nos dar os limites de integração. Então partiu:

y = 32 x - 2 + 16 = 0

x - 2 = - 16 32

x = - 0,5 + 2

x = 1,5

Como a área azul é negativa se calculamos por integrais, vamos calcular então usando um módulo:

∫ 0 1,5 32 x - 2 + 16 d x = ∫ 0 1,5 32 x - 48 d x

∫ 0 1,5 32 x - 2 + 16 d x = 16 x 2 - 48 x x = 0 x = 1,5  

∫ 0 1,5 32 x - 2 + 16 d x = 16 . 1,5 2 - 48 . 1,5 x = 0 x = 1,5  

∫ 0 1,5 32 x - 2 + 16 d x = 36 - 72 = - 36 = 36

Beleza, mas faltam duas áreas. A marrom vai ficar:

∫ 0 2 x 4 d x = x 5 5 x = 0 x = 2   = 32 5 = 6,4

E pra fechar com chave de ouro, a área roxa:

∫ 1,5 2 32 x - 2 + 16 d x = 16 x 2 - 48 x x = 1,5 x = 2    

∫ 1,5 2 32 x - 2 + 16 d x = 16 . 2 2 - 48.2 -   16 , 1,5 2 + 48 . 1,5    

∫ 1,5 2 32 x - 2 + 16 d x = 28 - 24   = 4

Agora é só juntar os resultados:

A = ∫ 0 1,5 32 x - 2 + 16 d x + ∫ 0 2 x 4 d x -     ∫ 1,5 2 32 x - 2 + 16 d x

A = 36 + 6,4 -     4

A = 38,4

Resposta

y = 32 x - 2 + 16

A = 38,4

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