Considere a função f   : - 1,1 → R dada por

f x = sen ⁡ π 2 x x + 2

( b ) Determine a derivada f ' de f e depois calcule o valor de f ' 0 .

( c ) Encontre a reta tangente ao gráfico de f no ponto x = 0 .

Passo 1

( b ) Vamos calcular a derivada pela Regra do Quociente:

f ' x = sen ⁡ π 2 x ' x + 2 - sen ⁡ π 2 x x + 2 ' x + 2 2

f ' x = π 2 cos ⁡ π 2 x x + 2 - sen ⁡ π 2 x x + 2 2

Agora é só usar x = 0 e temos a nossa f ' ( 0 ) :

f ' 0 = π 2 cos ⁡ 0 0 + 2 - sen ⁡ 0 0 + 2 2

f ' 0 = π 2 1 2 2 2

f ' 0 = π 4

Passo 2

( c ) Para determinar a reta tangente ao ponto 0 , f 0 do gráfico devemos lembrar que o coeficiente angular da reta vale f ' 0 . Temos da letra ( b ) que:

a = f ' 0 = π 4

Onde esse a é o coeficiente angular. Modelando a reta por y = a x + b falta descobrir o b da reta, coeficiente linear. Para isso vamos substituir o par de pontos 0 , f 0 , que é

0 , sen ⁡ 0 0 + 2 = 0 , 0 2

= 0,0

Assim, y = π 4 x + b passa em 0,0 e o valor de b é:

0 = π 4 0 + b

b = 0

Enfim, a reta tangente ao gráfico f em x = 0 será

y = π 4 x

Resposta

b   f ' 0 = π 4

c   y = π 4 x

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