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Exercícios Resolvidos de Reta tangente

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Enunciado

UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de C1 - Profº Rubens Sucupira - Lista 3, Questão 37

Prove que a função

  f ( x )   = a r c t g ( x ) + x x 2 + 1

é invertível em   R e calcule   ( f ) - 1 ) ' ( f ( 0 ) ) .

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Calc1!!! Nosso objetivo é mostrar que que a função

  f ( x )   = a r c t g ( x ) + x x 2 + 1

é invertível em   R e calculee   ( f ) - 1 ) ' ( f ( 0 ) ) .

Passo 2

para mostrarmos que a função

  f ( x )   = a r c t g ( x ) + x x 2 + 1

é invertível em   R , precisamos mostrar que ela é estritamente crescente ou decrescente. Isto é sua derivada é

não negativa, e só pode valer zero em um conjunto enumerável de pontos

Vamos começar calculando sua derivada. Para isso, vamos lembrar que

a r c t g ' ( x ) = 1 x 2 + 1

Logo, usando a regra da razão

  f ' ( x )   = 1 x 2 + 1 + ( x 2 + 1 ) - x ( 2 x ) ( x 2 + 1 ) 2

= 1 x 2 + 1 + - x 2 + 1 ( x 2 + 1 ) 2

fazendo o mmc

= 2 ( x 2 + 1 ) 2

Que é sempre positiva. Logo, f é invertível

Passo 3

Agora, vamos calcular

( ( f ) - 1 ' ( f ( 0 ) )

Sabemos que

f - 1 ( f ( x ) ) = x

Então, derivando e usando a regra da cadeia

f - 1 ' ( f ( x ) ) * f ' ( x ) = 1

Logo

( f - 1 ) ' ( x ) = 1 / f ' ( x )

Como queremos ( f - 1 ) ' ( f ( 0 ) ) . Basta tomarmos x = 0 que temos:

( f - 1 ) ' ( f ( 0 ) ) = 2

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

D e s e n v o l v i m e n t o   A c i m a

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