Considere a função racional f x = x 2 - 4 x + 3 x 2 + 7 .

a) Calcule f ' x

b) Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de f x no ponto - 1,1

Passo 1

Essa questão é daquelas bem direto ao ponto, o que é ótimo! Temos uma função racional e queremos sua derivada! Oras, porque não usar a regra do quociente? Seja:

f ' x = h x g x ' = h ' x g x - h x g ' x g 2 x

Onde:

h x = x 2 - 4 x + 3

h ' x = 2 x - 4

g x = x 2 + 7

g ' x = 2 x

A derivada fica:

f ' x = 2 x - 4 x 2 + 7 - x 2 - 4 x + 3 2 x x 2 + 7 2

Passo 2

Agora pra achar a equação da reta tangente é um pouco menos direto ao ponto, porém tranquilo também se lembrarmos da equação genérica:

y = a x - x 0 + y 0

Onde a = f ' x 0 é o coeficiente angular da reta e P = x 0 , y 0 é o ponto de tangência, basta a gente misturar o resultado do passo anterior com o dado do enunciado. Saca só, ele nos diz que:

P = - 1,1

Logo:

x 0 = - 1

y 0 = 1

A equação fica:

y = f ' - 1 x + 1 + 1

E o coeficiente angular a gente calcular mole já que sabemos a expressão da primeira derivada:

f ' - 1 = 2 - 1 - 4 - 1 2 + 7 - - 1 2 - 4 - 1 + 3 2 - 1 - 1 2 + 7 2

f ' - 1 = - 2 - 4 1 + 7 - 1 + 4 + 3 - 2 1 + 7 2

f ' - 1 = - 6 8 - 8 - 2 8 2 = - 6 - - 2 8

f ' - 1 = - 6 + 2 8 = - 4 8 = - 1 2

E logo a equação da reta tangente é:

y = - 1 2 x + 1 + 1

Resposta

f ' x = 2 x - 4 x 2 + 7 - x 2 - 4 x + 3 2 x x 2 + 7 2

y = - 1 2 x + 1 + 1

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