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Exercícios Resolvidos de Teste da Razão e da Raiz

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Enunciado

UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral II, Listas de Cálculo 2 - UAMat - Lista 4, Questão 9v

Determine se a série converge ou diverge.

∑ n = 1 ∞ e n 1 + e 2 n

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício?

Para resolvermos o nosso exercício, vamos usar o Teste da Razão. E como ele funciona? Basicamente vamos ter que calcular:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

Na nossa série:

∑ n = 1 ∞ e n 1 + e 2 n

a n = e n 1 + e 2 n

E a regra é a seguinte:

s e   0 ≤ L < 1   e n t ã o   ∑ a n   c o n v e r g e   s e   L > 1   e n t ã o   ∑ a n   d i v e r g e s e   L = 1   e n t ã o   n ã o   p o d e m o s   a f i r m a r   n a d a

Passo 2

Show galera, vamos calcular. Antes vamos determinar cada fator do nosso limite:

∑ n = 1 ∞ e n 1 + e 2 n

a n = e n 1 + e 2 n

a n + 1 = e n + 1 1 + e 2 n + 2

Jogando no nosso limite:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ e n + 1 1 + e 2 n + 2 e n 1 + e 2 n

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ e n + 1 1 + e 2 n + 2 × 1 + e 2 n e n

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ e ( 1 + e 2 n ) 1 + ( e 2 n + 2 ) = e lim n → ∞ ⁡ ( 1 + e 2 n ) 1 + ( e 2 n + 2 )

Aplicando L-Hôspital:

e lim n → ∞ ⁡ ( 1 + e 2 n ) 1 + ( e 2 n + 2 ) = e lim n → ∞ ⁡ 2 e 2 n 2 ( e 2 n + 2 ) = e lim n → ∞ ⁡ e 2 n ( e 2 n × e ² )

e lim n → ∞ ⁡ ( 1 + e 2 n ) 1 + ( e 2 n + 2 ) = e lim n → ∞ ⁡ 1 e ² = 1 e

Achamos que o limite é igual a 1 e , pela definição que estabelecemos no Passo 1:

s e   0 ≤ L < 1   e n t ã o   ∑ a n   c o n v e r g e

Então:

∑ n = 1 ∞ e n 1 + e 2 n → c o n v e r g e

Resposta

C o n v e r g e

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Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ 1 + 1 n n 2
Determine se a série é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n n 2 + 4
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.9. ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1,1 n n 4
Prove que, se ∑ a n for absolutamente convergente, então: ∑ n = 1 ∞ a n ≤ ∑ n = 1 ∞ a n
Demonstre o Teste da Raiz. [Sugestão para a parte (i): Tome qualquer número r tal que Lr1 e use o fato de que existe um inteiro N tal que a n nr quando n ≥ N .]