UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral II, Listas de Cálculo 2 - UAMat - Lista 4, Questão 10b
Determine se a série converge ou diverge
Passo 1
Falai meus amores, bora resolver essa comigo?
Para determinar se a série infinita
converge ou diverge, podemos usar o teste de comparação ou o teste da razão.
Vamos utilizar o teste da razão neste caso.
O teste da razão envolve calcular o limite da razão entre os termos consecutivos da série:
Limite quando n tende ao infinito de
onde representa o termo geral da série.
No nosso caso,
Agora, vamos calcular a razão:
Podemos simplificar isso:
Passo 2
Agora, avaliemos o limite à medida que n tende ao infinito:
Limite quando n tende ao infinito de = Limite quando n tende ao infinito de
Vamos dividir as partes e calcular os limites separadamente:
Limite quando n tende ao infinito de
Isso é igual ao limite quando n tende ao infinito de
Quando n tende ao infinito, os termos de ordem inferior não têm influência significativa, e o limite é igual a 1.
Limite quando n tende ao infinito de
Passo 3
Isso é igual ao limite quando n tende ao infinito de
Aqui, a parte é uma constante, e o limite de é 1.
Agora, multiplicamos os dois limites:
O resultado é 1, o que significa que a série converge.
Portanto, a série converge de acordo com o teste da razão.
Resposta
Converge.