Determine se a série converge ou diverge

∑ n = 1 ∞ n ! e - n

Passo 1

Para determinar se a série ∑ n = 1 ∞ n ! e - n

converge ou diverge, podemos usar o teste de razão (ou teste da razão).

Vamos aplicar o teste da razão:

O teste da razão envolve calcular o limite da razão entre os termos consecutivos da série:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ n + 1 ! e - n + 1 n ! e - n

Passo 2

Podemos simplificar essa expressão:

lim n → ∞ ⁡ n + 1 ! e - n + 1 n ! e - n

lim n → ∞ ⁡ n + 1 ! n ! ⋅ e - n + 1 e - n

lim n → ∞ ⁡ n + 1 e - 1

= ∞

O limite acima é igual a , o que indica que a série ∑ n = 1 ∞ n ! e - n não satisfaz o critério do teste da razão.

Quando o limite da razão é igual a ∞ ,   a série é geralmente considerada divergente.

A razão entre termos consecutivos não tende a zero, o que implica que a série convirja.

Portanto, a série ∑ n = 1 ∞ n ! e - n   diverge.

Resposta

Diverge.

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