UFMG – Cálculo 2 – P1 – Questão 2a
Diga se as séries são convergentes ou divergentes:
Passo 1
Oi, tudo bem?
Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você!
O problema nos deu uma série:
E perguntou se essa série converge ou não converge. Bom, para afirmarmos qualquer coisa sobre uma série, precisamos aplicar algum teste nela. E aqui que está o primeiro xabu para gente resolver: escolher o teste certo para cada tipo de série!
Sim, isso porque podemos escolher um teste que não possa ser aplicado ou pior, que seja inconclusivo!
Mas calma, estou aqui para te ajudar nisso! Olhando com mais carinho a série...
Não podemos aplicar o teste da comparação, pois essa série não se parece com nenhuma série conhecida e selecionar apenas os termos dominantes seria muito complicado. Outro teste que falha é o da razão. Fazer o limite de ficaria também muito complicado. E pelo teste da divergência, não podemos concluir que essa coisa divirja, então o mais provável é que o teste da divergência deva ser inconclusivo, então nem vamos perder tempo com ele.
Mas então, como resolver?
Tá vendo aquele expoente ? Então, é por causa dele que vou sugerir o teste a seguir!
Repare que o termo geral está inteiramente elevado a ! Esse expoente é o que complica nossas vidas, mas com o teste da raiz conseguimos nos livrar dele!
E aqui está o enunciado do teste da raiz:
Então a ideia é aplicar esse teste, simplificar aquele e analisar o limite do restante! Bora lá fazer juntos?
Passo 2
A série é
E agora vamos aplicar o teste da raiz: determinar o limite da raiz desse termo geral!
Podemos transformar essa raiz em expoente e simplificar com aquele :
Tudo bem até aqui?
Passo 3
Mas e agora? Agora vem o MAIOR TRUQUE SUJO EVER!
O limite que precisamos analisar é esse aqui:
Dentro daqueles parênteses, vou dividir em dois aqueles termos:
Mas aí você se pergunta, por quê? Colocando de volta no limite, saca só:
Não está aparecendo com algum limite muito familiar? Um limite fundamental?
Isso mesmo! Temos como resultado algo bem parecido com o limite que dá a definição do número de Euler !
Resgatando lá do fundo da sua memória, o é definido assim
E comparando com o limite que temos
O que nos separa é um ! Como o limite é um operador linear, ele permite que as potências ‘saiam’ dele e vão para fora. Ou seja, posso tirar aquele do expoente, fazendo todo o limite elevado a :
E agora sim, dentro dos colchetes temos o número :
Tranquilo?
Passo 4
Agora vamos lá resgatar as conclusões para o teste da raiz:
Como o resultado do limite é um número menor do que 1:
Então concluímos que a série
É convergente
Ufa! Terminamos! Espero ter ajudado!
Bora para a próxima?