Exercício 11 Verifique quais das series abaixo são convergentes (sem necessariamente calcular o limite).

d) ∑ n = 1 + ∞ e n n !

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema queremos determinar se a série dada por ∑ n = 1 + ∞ e n n ! é convergente ou divergente.

Tem ideia de como fazemos isso? 🤔

Nesse caso, como temos um fatorial no denominador, para determinar o raio e o intervalo de convergência temos que aplicar o teste da razão.

O teste da razão de uma série ∑ n = 0 ∞ a n consiste em calcular o limite de a n + 1 a n , ou seja

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

Para a série convergir, temos que ter lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n < 1

Se lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n > 1 a série diverge.

Mas se lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = 1 não podemos afirmar nada.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Nesse caso a série é dada por

∑ n = 0 ∞ e n n !

Aplicando o teste da razão chegamos em

lim n → ∞ ⁡ e n + 1 n + 1 ! · n ! e n

Simplificando...

lim n → ∞ ⁡ e n · e n + 1 · n ! · n ! e n

lim n → ∞ ⁡ e n + 1

Fazendo n → ∞ , chegamos em

lim n → ∞ ⁡ e n + 1 = 0

Como esse resultado é menor que 1 a série converge!

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

Converge

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