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Exercícios Resolvidos de Teste da Razão e da Raiz

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Enunciado

UFMG, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de C2 - UFMG 2023.1 - 1ª Lista, Questão 11i

Exercício 11 Verifique quais das series abaixo são convergentes (sem necessariamente calcular o limite).

i) ∑ n = 1 + ∞ 4 n 1 + 9 n

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema queremos determinar se a série dada por ∑ n = 1 + ∞ 4 n 1 + 9 n é convergente ou divergente.

Tem ideia de como fazemos isso? 🤔

Nesse caso, como temos um n no expoente no denominador, para determinar o raio e o intervalo de convergência temos que aplicar o teste da razão.

O teste da razão de uma série ∑ n = 0 ∞ a n consiste em calcular o limite de a n + 1 a n , ou seja

lim k → ∞ ⁡ a n + 1 a n

Para a série convergir, temos que ter lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n < 1

Se lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n > 1 a série diverge.

Mas se lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = 1 não podemos afirmar nada.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Nesse caso a série é dada por

∑ n = 1 + ∞ 4 n 1 + 9 n

Aplicando o teste da razão chegamos em

lim n → ∞ ⁡ 4 n + 1 1 + 9 n + 1 · 1 + 9 n 4 n

Simplificando...

lim n → ∞ ⁡ 4 n · 4 1 + 9 n · 9 · 1 + 9 n 4 n

lim n → ∞ ⁡ 4 1 + 9 n 1 + 9 n · 9

Dividindo o numerador e o denominador por 9 n

lim n → ∞ ⁡ 4 1 9 n + 9 n 9 n 1 9 n + 9 n · 9 9 n

lim n → ∞ ⁡ 4 1 9 n + 1 1 9 n + 9

Fazendo n → ∞ , vemos que os termos 1 9 n tendem a 0 , portanto

lim n → ∞ ⁡ 4 1 9 n + 1 1 9 n + 9 = 4 0 + 1 0 + 9 = 4 9

Como esse resultado é menor que 1 a série converge!

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

Converge

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Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ 1 + 1 n n 2
Determine se a série é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n n 2 + 4
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.9. ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1,1 n n 4
Prove que, se ∑ a n for absolutamente convergente, então: ∑ n = 1 ∞ a n ≤ ∑ n = 1 ∞ a n
Demonstre o Teste da Raiz. [Sugestão para a parte (i): Tome qualquer número r tal que Lr1 e use o fato de que existe um inteiro N tal que a n nr quando n ≥ N .]