(Miscelânea) Quais das séries abaixo convergem e quais divergem? Justifique suas respostas. (Observação: em alguns casos pode existir mais de uma maneira de determinar a convergência ou divergência da série.)

j)

∑ n = 1 ∞ n * 2 n n + 1 ! 3 n * n !

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para dizer se a série ∑ n = 1 ∞ n * 2 n n + 1 ! 3 n * n ! converge ou diverge.

Aqui podemos utilizar o Teste da Razão.

Mas que teste é esse?

Então... O Teste da Razão diz que se calcularmos o limite:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

Onde a n é um termo genérico da série e a n + 1 é o que vem depois dele.

Então, temos que:

Agora vamos aplicar!! 😉

Passo 2

Assim, fazendo o limite para a série dada, temos:

lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) * 2 n + 1 n + 1 + 1 ! 3 n + 1 * n + 1 ! n * 2 n n + 1 ! 3 n * n ! =

= lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) * 2 n + 1 n + 2 ! 3 n + 1 * n + 1 ! n * 2 n n + 1 ! 3 n * n ! ∴

= lim n → ∞ ⁡ n + 1 * 2 n * 2 * n + 2 * n + 1 ! 3 n * 3 * n + 1 ! n * 2 n n + 1 * n ! 3 n * n ! ∴

Simplificando a expressão, temos:

= lim n → ∞ ⁡ 2 * n + 2 3 n 1 ∴

= lim n → ∞ ⁡ 2 n + 4 3 n ∴

= lim n → ∞ ⁡ 2 n 3 n + lim n → ∞ ⁡ 4 3 n ∴

= 2 3

Assim, a série converge pelo Teste da Razão.

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

A série converge

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