UFU, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de Cálculo 3 - Profª Lúcia - Primeira Lista - 2022.2, Questão 10m
(Miscelânea) Quais das séries abaixo convergem e quais divergem? Justifique suas respostas. (Observação: em alguns casos pode existir mais de uma maneira de determinar a convergência ou divergência da série.)
m)
Passo 1
Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para dizer se a série converge ou diverge.
Para podermos prosseguir, vamos primeiro fazer algumas adaptações no somatório:
Podemos prosseguir fazendo o primeiro somatório pelo Teste da Razão e, o segundo, pelo Teste da Raiz.
Passo 2
Mas o que é o Teste da Razão?
Então... O Teste da Razão diz que se calcularmos o limite:
Onde é um termo genérico da série e é o que vem depois dele.
Então, temos que:
Passo 3
E o Teste da Raiz?
Então... O Teste da Raiz diz que se sendo uma série, assumimos que .
Caso esse limite exista, então:
Ou seja, igual ao Teste da Razão!!
Agora vamos aplicar!! 😉
Passo 4
Assim, utilizando o Teste da Razão para o primeiro Somatório, temos:
Assim, a série converge pelo Teste da Razão.
Passo 5
Agora, aplicando o Teste da Raiz para o segundo somatório, temos:
Dessa forma, a série converge pelo Teste da Raiz!
Como ambas as séries convergem, então a junção delas também resulta em uma série convergente!!
Entendeu direitinho? Responde aee ;)
Resposta
A série converge