Use o Teste da Raiz para determinar a convergência ou divergência da série dada:

e)

∑ n = 1 ∞ n ! n n n 2

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para dizer se a série ∑ n = 1 ∞ n ! n n n 2 converge ou diverge pelo Teste da Raiz.

Mas que teste é esse?

Então... O Teste da Raiz diz que se sendo ∑ a n uma série, assumimos que a n n = lim n → ∞ ⁡ a n 1 / n = L .

Caso esse limite L exista, então:

Agora vamos aplicar!! 😉

Passo 2

Assim, fazendo o limite para a série dada, temos:

lim n → ∞ ⁡ n ! n n n 2 n ∴

= lim n → ∞ ⁡ n ! n n 2 n n ∴

= lim n → ∞ ⁡ n ! n n 2 n n ∴

= lim n → ∞ ⁡ n ! n 2 n n ∴

= lim n → ∞ ⁡ n * n - 1 ! n 2 ∴

= lim n → ∞ ⁡ n - 1 ! n

Tanto o numerador quanto o denominador tendem ao infinito.

Mas o fatorial cresce muito rapidamente quando comparado com o denomidanor. Dessa forma, temos:

lim n → ∞ ⁡ n ! n n n 2 n = 0

Dessa forma, a série converge pelo Teste da Raiz!

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

A série converge

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