Avalie a integral de superfície para o campo vetorial dado e a superfície orientada . Em outras palavras, localize o fluxo de através de. Para superfícies fechadas, use a orientação (para o exterior) positiva.
Passo 1
Vamos começar olhando a região de integração. No plano é um círculo de raio , então:
Passo 2
O vetor normal é na direção positiva do eixo :
E o produto escalar entre esse vetor e o campo é:
Em coordenadas polares o produto escalar fica assim ó:
E esse vai ser nosso integrando! Agora é só jogar tudo numa integral dupla e sair calculando! Bora lá?
Passo 3
Como não as variáveis são independentes, podemos fazer as duas integrações simultaneamente:
E aplicar os limites:
Beleza? Vamos pra próxima!