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Exercícios Resolvidos de Caso Escalar

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Enunciado

UFU, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de C3 - Profª Laís Rodrigues - 1ª Lista - Integrais de Linha e de Superfície, Questão 16b

Avalie a integral de superfície ∬ S F → ⋅ d S → para o campo vetorial dado F → e a superfície orientada S . Em outras palavras, localize o fluxo de F através de   S . Para superfícies fechadas, use a orientação (para o exterior) positiva.

F → x , y , z = - x i ^ - y j ^ + z 3 k ^

S   é   a   p a r t e   d o   c o n e   z = x 2 + y 2   q u e   e s t á   e n t r e   o s   p l a n o s   z = 1   e   z = 3   c o m   o r i e n t a ç ã o   d e s c e n d e n t e .

Passo 1

Vamos começar olhando a região de integração. No plano x y é um círculo de raio 1 até 3 , então:

d A = r d r d θ 1 ≤ r ≤ 3 0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 2

A função g x , y = z é g x , y = x 2 + y 2 , então o vetor normal n → (orientação descendente) é:

n → = ∂ g ∂ x ,   ∂ g ∂ y ,   - 1 = - x x 2 + y 2 ; - y x 2 + y 2 ; 1

E o produto escalar entre esse vetor e o campo F → é:

- x ;   - y ; z 3 ⋅ - x x 2 + y 2 ; - y x 2 + y 2 ; 1 = x 2 x 2 + y 2 + y 2 x 2 + y 2 - z 3

Mas sabemos que z = x 2 + y 2 , então o produto escalar é:

x 2 + y 2 - x 2 + y 2 3

Em coordenadas polares x = r c o s θ ; y = r s e n θ o produto escalar fica assim ó:

r - r 3

E esse vai ser nosso integrando! Agora é só jogar tudo numa integral dupla e sair calculando! Bora lá?

Passo 3

∫ 0 2 π ∫ 1 3 r - r 3 r d r d θ = ∫ 0 2 π d θ ∫ 1 3 ( r 2 - r 4 ) d r

Como não as variáveis são independentes, podemos fazer as duas integrações simultaneamente:

θ 0 2 π . r 3 3 - r 5 5 1 3

E aplicar os limites:

= 2 π . 3 3 3 - 3 5 5 - 1 3 - 1 5 = 2 π 9 - 1 3 - 242 5 = 2 π - 596 15 = - 1192 π 15

Beleza? Vamos pra próxima!

Resposta

- 1192 π 15

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